Calcule integral duplaR 6 x y d A, onde R é a região delimitada pelas retas verticais x=2 e x=4, abaixo pela curva y=12 x e acima pela curva y=2 raizx.

Passo 1

Temos que calcular a integral dupla integral duplaR6xy,dA, onde a região R é delimitada pelas retas x=2, x=4 e pelas curvas y=tfrac12x e y=2raizx. O conteúdo é integração dupla sobre uma região plana e vamos usar a ordem de integração dy,dx.

Passo 2

Para montar os limites em y, comparamos as curvas:$\tfrac12x$ e tfrac12x. Resolvendo
2raizx
Como em tfrac12x<=2raizxiff x<=16 vale [2,4], ficamos com
$$y_{\min}=\tfrac12x,\quad y_{\max}=2\sqrt{x}.
$$

Passo 3

Escrevendo a integral iterada e integrando em y:
integralx=2^4l(integraly=tfrac12x^2raizx6xy,dyr)dx =integral2^46xl[tfracy^22r]y=tfrac12x^y=2raizxdx =integral2^43xl[(2raizx)^2-(tfrac12x)^2r],dx

Passo 4

Simplificando o integrando:
(2raizx)^2=4x,(tfrac12x)^2=tfracx^24,
então
3xl(4x-tfracx^24r)=12x^2-tfrac34x^3
Logo a integral em x é
integral2^4l(12x^2-tfrac34x^3r)dx =12integral2^4x^2dx-tfrac34integral2^4x^3dx

Passo 5

Calculando cada termo:
12integral2^4x^2dx=12l[tfracx^33r]2^4=4l(4^3-2^3r)=4(64-8)=224,
tfrac34integral2^4x^3dx=tfrac34l[tfracx^44r]2^4=tfrac316(4^4-2^4)=tfrac316(256-16)=45
Subtraindo, o valor da integral é
$$224-45=179.
$$

Resposta

179

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