Calcule
, onde R é a região delimitada pelas retas verticais
e
, abaixo pela curva
e acima pela curva
.
Passo 1
Temos que calcular a integral dupla
, onde a região
é delimitada pelas retas
,
e pelas curvas
e
. O conteúdo é integração dupla sobre uma região plana e vamos usar a ordem de integração
.
Passo 2
Para montar os limites em
, comparamos as curvas:$\tfrac12x$ e
. Resolvendo
Como em
$$y_{\min}=\tfrac12x,\quad y_{\max}=2\sqrt{x}.
$$
Passo 3
Escrevendo a integral iterada e integrando em
:
Passo 4
Simplificando o integrando:
então
Logo a integral em
é
Passo 5
Calculando cada termo:
Subtraindo, o valor da integral é
$$224-45=179.
$$
Resposta
179