Determine o domínio da função. (valores de x para os quais a série é convergente)
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para determinar o domínio da função $ f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x{n}}{n{4}} $, ou seja, encontrar os valores de $ x $ para os quais essa série infinita converge. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries de potências e testes de convergência, como o Teste da Razão.
Passo 2
Primeiro, reconhecemos que temos uma série de potências da forma $ \sum a_n x^n $, onde $ a_n = \frac{1}{n^4} $. Para encontrar o domínio, precisamos descobrir para quais valores de $ x $ essa série converge.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Razão, que é muito útil para determinar o raio de convergência de séries de potências. O teste diz que a série $ \sum a_n x^n $ converge se:
Aplicando isso à nossa série:
Sabemos que $ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{n+1} \right)^4 = 1 $, então:
Isso significa que para $ |x| < 1 $, a série converge.
Passo 4
Agora, vamos verificar o caso onde $ |x| = 1 $. Substituindo, temos:
Essa é uma série p com $ p = 4 $. Sabemos que uma série p converge se $ p > 1 $. Portanto, a série converge quando $ |x| = 1 $.
Passo 5
Por fim, para $ |x| > 1 $, o termo $ x^n $ cresce exponencialmente enquanto $ n^4 $ cresce apenas polinomialmente. Isso faz com que os termos da série não tendam a zero, e, consequentemente, a série diverge.
Resposta
O domínio da função é $ |x| \leq 1 $.