Mostre que as séries abaixo são absolutamente convergentes
sumk=1^+infty sen kk^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que a série sumk=1^+infty sen kk^2 é absolutamente convergente. Isso significa que a gente precisa verificar se a série formada pelos valores absolutos dos termos também converge. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Comparação, que é uma técnica matemática para comparar com uma série que já sabemos se converge ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa convergência absoluta. Uma série sum ak é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos, sum |ak|, também converge. No nosso caso, temos ak = sen kk^2, então precisamos analisar sumk=1^+infty | sen kk^2 |.

Passo 3

Sabemos que o seno de qualquer número real está sempre entre -1 e 1. Portanto, | sen k | <= 1 para todo k. Isso nos dá que:
| sen kk^2 | <= 1k^2

Passo 4

Agora, vamos usar o Teste da Comparação. A gente compara a nossa série com outra série que sabemos que converge. Sabemos que a série sumk=1^+infty 1k^2 é uma série p com p = 2, que é maior que 1. Essa série é conhecida por convergir (é a famosa série de Basileia).

Passo 5

Como | sen kk^2 | <= 1k^2 e a série sumk=1^+infty 1k^2 converge, pelo Teste da Comparação, concluímos que a série sumk=1^+infty | sen kk^2 | também converge.

Resposta

Portanto, a série sumk=1^+infty sen kk^2 é absolutamente convergente.

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