Mostre que as séries abaixo são absolutamente convergentes
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que a série é absolutamente convergente. Isso significa que a gente precisa verificar se a série formada pelos valores absolutos dos termos também converge. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Comparação, que é uma técnica matemática para comparar com uma série que já sabemos se converge ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa convergência absoluta. Uma série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos, , também converge. No nosso caso, temos , então precisamos analisar .
Passo 3
Sabemos que o seno de qualquer número real está sempre entre -1 e 1. Portanto, | sen k | <= 1 para todo k. Isso nos dá que:
| sen kk^2 | <= 1k^2
Passo 4
Agora, vamos usar o Teste da Comparação. A gente compara a nossa série com outra série que sabemos que converge. Sabemos que a série sumk=1^+infty 1k^2 é uma série p com p = 2, que é maior que 1. Essa série é conhecida por convergir (é a famosa série de Basileia).
Passo 5
Como | sen kk^2 | <= 1k^2 e a série sumk=1^+infty 1k^2 converge, pelo Teste da Comparação, concluímos que a série sumk=1^+infty | sen kk^2 | também converge.
Resposta
Portanto, a série sumk=1^+infty sen kk^2 é absolutamente convergente.