Enuncie o critério de Dirichlet

Passo 1

Beleza, você quer que eu enuncie o critério de Dirichlet. Esse critério é uma ferramenta usada na matemática, mais especificamente na análise de séries infinitas, para ajudar a determinar se uma série converge ou não. Para entender isso, vamos precisar saber o que é uma série e como analisamos a sua convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série é simplesmente a soma de uma sequência de termos. Por exemplo, $ \sum_{n=1}^{\infty} a_n $ é uma série onde somamos todos os termos $ a_n $ de $ n = 1 $ até o infinito. Determinar se essa soma chega a um número finito (ou seja, converge) ou se ela fica sem limites (ou seja, diverge) é uma questão central na análise de séries.

Passo 3

O critério de Dirichlet é uma das várias maneiras de verificar se uma série converge. Ele é especialmente útil quando a série tem um formato específico, onde os termos podem ser divididos em duas partes: uma parte que é monotonicamente decrescente e limitada, e outra parte que tem somas parciais limitadas.

Passo 4

Mais formalmente, o critério de Dirichlet afirma que:
Seja $ {a_n} $ uma sequência de números reais ou complexos e $ {b_n} $ uma sequência de números reais. Se:
  1. $ a_n $ é uma sequência monotonicamente decrescente e tende a zero, ou seja, $ a_n \geq a_{n+1} $ para todo $ n $ e $ \lim_{n \to \infty} a_n = 0 $.
  2. As somas parciais $ B_n = \sum_{k=1}^{n} b_k $ são limitadas, ou seja, existe um número $ M $ tal que $ |B_n| \leq M $ para todo $ n $.
Então, a série $ \sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n $ converge.

Resposta

O critério de Dirichlet estabelece que, se uma sequência $ {a_n} $ é monotonicamente decrescente e tende a zero, e se as somas parciais da sequência $ {b_n} $ são limitadas, então a série $ \sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n $ converge.

Exercícios relacionados