Calcule integral duplaR(2 x+4 y^2) d A, onde R é a região no semiplano superior limitada pelos círculos x^2+y^2=1 e x^2+y^2=9.

Passo 1

A integral que temos é integral duplaR(2x + 4y^2),dA, onde R é a região do semiplano superior entre os círculos x^2+y^2=1 e x^2+y^2=9. O conteúdo é mudança para coordenadas polares e usaremos que x=rcostheta, y=rsintheta e dA=r,dr,dtheta.

Passo 2

Em coordenadas polares, os limites são r de 1 a 3 e theta de 0 a pi. Substituindo no integrando, temos
integraltheta=0^piintegralr=1^3l(2rcostheta +4r^2sin^2thetar),r,dr,dtheta
Agora fazemos primeiro a integral em r. Note que
integralr=1^32r^2,dr=2l[tfracr^33r]1^3=tfrac523,
e
integralr=1^34r^3,dr=4l[tfracr^44r]1^3=80
Assim o integral fica
integral0^pil(tfrac523costheta+80sin^2thetar),dtheta
A parte com costheta sobre [0,pi] dá zero, e
integral0^pisin^2theta,dtheta=pi2
Logo o valor total é 80timestfracpi2=40pi.

Resposta

40pi

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