Encontre o volume da região sólida delimitada superiormente pelo paraboloide z=16-x^2-y^2 e inferiormente pela circunferência unitária no plano xy.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume da região sólida limitada superiormente pelo paraboloide z=16-x^2-y^2 e inferiormente pelo círculo unitário no plano xy. O conteúdo é integração dupla para volumes, e vamos precisar usar coordenadas polares para simplificar a integral sobre o disco x^2+y^2<=1.

Passo 2

Em geral, o volume de um sólido acima de uma região R no plano xy é dado por V=integral duplaR (zsup(x,y)-zinf(x,y)),dA. Aqui temos zsup=16-x^2-y^2 e zinf=0 (plano xy), logo
V=integral duplax^2+y^2<=1(16-x^2-y^2),dA

Passo 3

Para aproveitar a simetria circular, passamos para coordenadas polares: x=rcostheta, y=rsintheta, dA=r,dr,dtheta, com 0<= r<=1 e 0<=theta<=2pi. A integral fica
V=integral0^2piintegral0^1(16-r^2),r,dr,dtheta

Passo 4

Agora calculamos a integral interna em r:
integral0^1(16r-r^3),dr=l[8r^2-r^44r]0^1=8-14=314

Passo 5

Por fim, integramos em theta:
V=integral0^2pi314,dtheta=314cdot2pi=31pi2

Resposta

31pi2

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