Questão 5: Determine o intervalo de convergência da série, sumn=0^infty n+23^n(x-2)^n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o intervalo de convergência da série sumn=0^infty n+23^n(x-2)^n. O conteúdo que a gente vai usar aqui é séries de potências e o Teste da Razão para determinar até onde a série converge. Basicamente, queremos saber para quais valores de x a série dá certo e não “explode”.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de potências. É uma soma infinita onde cada termo tem a forma an (x - c)^n. No nosso caso, an = n+23^n e c = 2. Para encontrar o intervalo de convergência, usamos o Teste da Razão, que nos ajuda a descobrir para quais valores de x a série converge.

Passo 3

O Teste da Razão diz que a série sum an converge se o limite limn to infty | an+1an | < 1. Vamos aplicar isso à nossa série.
Primeiro, vamos encontrar an+1an:
an+1an = (n+1)+23^n+1(x-2)^n+1n+23^n(x-2)^n = (n+3)3^n+1(x-2)^n+1 cdot 3^nn+2(x-2)^-n
Simplificando:
an+1an = n+33(n+2)(x-2)

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite absoluto conforme o Teste da Razão:
limn to infty | n+33(n+2)(x-2) | = | 13(x-2) |
Porque quando n tende ao infinito, n+3n+2 to 1.

Passo 5

Para a série convergir, esse limite deve ser menor que 1:
| 13(x-2) | < 1
Multiplicando ambos os lados por 3:
|x - 2| < 3

Passo 6

Isso nos dá o raio de convergência de 3 e o centro da série em x = 2. Portanto, o intervalo onde a série converge é:
2 - 3 < x < 2 + 3 Rightarrow -1 < x < 5

Passo 7

Agora, precisamos verificar o que acontece nos limites desse intervalo, ou seja, em x = -1 e x = 5.
  • Para x = -1:
|x - 2| = |-1 - 2| = 3
A série se torna:
sumn=0^infty n+23^n(-3)^n = sumn=0^infty (n+2)(-1)^n
Essa série não converge porque os termos não tendem a zero.
  • Para x = 5:
|x - 2| = |5 - 2| = 3
A série se torna:
sumn=0^infty n+23^n(3)^n = sumn=0^infty (n+2)
Claramente, essa série também não converge porque é uma soma infinita de números que crescem sem limite.

Resposta

O intervalo de convergência da série é -1 < x < 5.

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