Os Problemas 1 a 4 envolvem equações da forma dy/dt = f (y). Em cada problema, esboce o gráfico de f (y) em função de y, determine os pontos críticos (de equilíbrio) e classifique cada um como assintoticamente estável ou instável. Desenhe a reta de fase e esboce diversos gráficos de soluções no plano ty.
-
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial
, onde
e
, e queremos:
- Esboçar o gráfico de
em função de . - Encontrar os pontos críticos (onde
). - Classificar cada ponto crítico como assintoticamente estável ou instável.
- Desenhar a reta de fase e esboçar gráficos de soluções no plano
.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de equações diferenciais como pontos de equilíbrio, estabilidade e como esboçar gráficos de funções e soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar o gráfico de
. Essa é uma função quadrática em
, onde
e
são positivos. Podemos reescrever a função como:
Isso nos ajuda a identificar os zeros da função, ou seja, os valores de
onde
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de
onde
:
Isso nos dá duas soluções:
Portanto, temos dois pontos críticos:
e
.
Passo 4
Vamos classificar a estabilidade de cada ponto crítico. Para isso, analisamos a derivada de
em relação a
:
Avaliaremos
em cada ponto crítico:
-
Para
: Como, o ponto é instável. -
Para
: Como, o ponto é assintoticamente estável.
Passo 5
Agora, vamos desenhar a reta de fase. A reta de fase é uma linha que representa os diferentes estados do sistema (valores de
) e indica a direção do fluxo do sistema.
- Desenhe uma linha horizontal representando os valores de
. - Marque os pontos críticos
e na linha. - Indique a direção do fluxo:
- Para
: (fluxo para a direita). - Para
: (fluxo para a esquerda). - Para
: (fluxo para a direita).
- Para
Passo 6
Por fim, vamos esboçar diversos gráficos de soluções no plano
. Cada solução representa como
evolui ao longo do tempo
a partir de diferentes condições iniciais
.
- Para
: aumenta sem limite, pois . - Para
: tende a conforme aumenta. - Para
: aumenta em direção a .
Esses comportamentos refletem a estabilidade dos pontos críticos que identificamos.
Resposta
Resolvido! Encontramos que os pontos críticos são
(instável) e
(assintoticamente estável). O esboço da reta de fase e dos gráficos de soluções no plano
mostram que soluções iniciando acima de zero tendem para
, enquanto aquelas entre
e
se aproximam de
, e as que começam abaixo de
também se aproximam de
.