Os Problemas 1 a 4 envolvem equações da forma dy/dt = f (y). Em cada problema, esboce o gráfico de f (y) em função de y, determine os pontos críticos (de equilíbrio) e classifique cada um como assintoticamente estável ou instável. Desenhe a reta de fase e esboce diversos gráficos de soluções no plano ty.
  1. d yd t=a y+b y^2, a>0, b>0,-infty

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial dydt = a y + b y^2, onde a > 0 e b > 0, e queremos:
  1. Esboçar o gráfico de f(y) = a y + b y^2 em função de y.
  2. Encontrar os pontos críticos (onde f(y) = 0).
  3. Classificar cada ponto crítico como assintoticamente estável ou instável.
  4. Desenhar a reta de fase e esboçar gráficos de soluções no plano ty.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de equações diferenciais como pontos de equilíbrio, estabilidade e como esboçar gráficos de funções e soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar o gráfico de f(y) = a y + b y^2. Essa é uma função quadrática em y, onde a e b são positivos. Podemos reescrever a função como:
f(y) = y (a + b y)
Isso nos ajuda a identificar os zeros da função, ou seja, os valores de y onde f(y) = 0.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de y onde f(y) = 0:
a y + b y^2 = 0 y (a + b y) = 0
Isso nos dá duas soluções:
y = 0 e a + b y = 0 Rightarrow y = -ab
Portanto, temos dois pontos críticos: y = 0 e y = -ab.

Passo 4

Vamos classificar a estabilidade de cada ponto crítico. Para isso, analisamos a derivada de f(y) em relação a y:
f'(y) = ddy(a y + b y^2) = a + 2b y
Avaliaremos f'(y) em cada ponto crítico:
  1. Para y = 0:
    f'(0) = a + 2b cdot 0 = a > 0
    Como f'(0) > 0, o ponto y = 0 é instável.
  2. Para y = -ab:
    f'(-ab) = a + 2b (-ab) = a - 2a = -a < 0
    Como f'(-ab) < 0, o ponto y = -ab é assintoticamente estável.

Passo 5

Agora, vamos desenhar a reta de fase. A reta de fase é uma linha que representa os diferentes estados do sistema (valores de y) e indica a direção do fluxo do sistema.
  1. Desenhe uma linha horizontal representando os valores de y.
  2. Marque os pontos críticos y = 0 e y = -ab na linha.
  3. Indique a direção do fluxo:
    • Para y > 0: dydt = a y + b y^2 > 0 (fluxo para a direita).
    • Para -ab < y < 0: dydt = a y + b y^2 < 0 (fluxo para a esquerda).
    • Para y < -ab: dydt = a y + b y^2 > 0 (fluxo para a direita).

Passo 6

Por fim, vamos esboçar diversos gráficos de soluções no plano ty. Cada solução representa como y evolui ao longo do tempo t a partir de diferentes condições iniciais y0.
  1. Para y0 > 0: y(t) aumenta sem limite, pois f(y) > 0.
  2. Para -ab < y0 < 0: y(t) tende a y = -ab conforme t aumenta.
  3. Para y0 < -ab: y(t) aumenta em direção a y = -ab.
Esses comportamentos refletem a estabilidade dos pontos críticos que identificamos.

Resposta

Resolvido! Encontramos que os pontos críticos são y = 0 (instável) e y = -ab (assintoticamente estável). O esboço da reta de fase e dos gráficos de soluções no plano ty mostram que soluções iniciando acima de zero tendem para +infty, enquanto aquelas entre -ab e 0 se aproximam de y = -ab, e as que começam abaixo de -ab também se aproximam de y = -ab.

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