Calcule integral duplaR e^-x^2-y^2 d A em que R é a região acima do eixo x e dentro da circunferência x^2+y^2=4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaR e^-x^2-y^2,dA, onde R é o semicírculo de raio 2 acima do eixo x. O conteúdo da matéria envolve mudança para coordenadas polares.

Passo 2

Como R é um semicírculo de raio 2, fazemos a troca para coordenadas polares: x=rcostheta, y=rsintheta, dA=r,dr,dtheta, com
0<= r<= 2, 0<=theta<=pi
Assim a integral fica
integral duplaRe^-x^2-y^2dA=integral0^piintegral0^2e^-r^2,r,dr,dtheta

Passo 3

Para a parte radial, usamos a substituição u=r^2 (logo du=2r,dr) e obtemos
integral0^2e^-r^2,r,dr=12integralu=0^4e^-u,du=1-e^-42

Passo 4

A integral em theta é simples:
integral0^pidtheta=pi
Portanto, a integral dupla é o produto de pi pelo resultado da parte radial.

Resposta

pi2l(1-e^-4r)

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