Se f(x)=raizx-4 e g(x)=12 x, determine o domínio de g circ f e esboce o gráfico de g circ f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas funções: f(x) = raizx-4 e g(x) = 12x . O que a gente precisa fazer é encontrar o domínio da função composta g circ f e desenhar o gráfico dessa composição. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é domínio de uma função e como compor funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de x para os quais a função está definida. Começamos encontrando o domínio de f(x) = raizx-4 . A raiz quadrada só está definida quando o que está dentro dela é maior ou igual a zero.
Então, temos:
x - 4 >= 0 implies x >= 4
Assim, o domínio de f é x >= 4 , ou seja, [4, +infty).

Passo 3

Agora vamos compor as funções, ou seja, g(f(x)) = g(raizx-4) = 12raizx-4 . Para encontrar o domínio de g circ f , precisamos que f(x) esteja no domínio de g .
A função g(x) = 12x está definida para todos os x exceto quando x = 0 , porque a divisão por zero não é permitida. Então, precisamos garantir que raizx-4 neq 0 .
Isso significa:
raizx-4 neq 0 implies x - 4 neq 0 implies x neq 4
Como já sabemos que x >= 4 pelo domínio de f , e agora excluímos x = 4 , o domínio de g circ f é x > 4 , ou seja, (4, +infty).

Passo 4

Para esboçar o gráfico de g circ f(x) = 12raizx-4 , vamos analisar como a função se comporta:
  • Quando x se aproxima de 4 pela direita ( x to 4^+ ), raizx-4 se aproxima de 0, então 12raizx-4 tende ao infinito. Isso cria uma assíntota vertical em x = 4 .
  • Conforme x aumenta, raizx-4 aumenta, e portanto 12raizx-4 diminui, aproximando-se de 0, mas nunca alcançando zero. Isso cria uma assíntota horizontal em y = 0 .
O gráfico será uma curva que começa muito alta perto de x = 4 e vai descendo suavemente em direção ao eixo x conforme x aumenta.

Resposta

O domínio da função composta g circ f é x > 4 . O gráfico de g circ f(x) = 12raizx-4 apresenta uma assíntota vertical em x = 4 e uma assíntota horizontal em y = 0 , com a curva decrescendo à medida que x aumenta.

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