Se
e
, determine o domínio de
e esboce o gráfico de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas funções:
e
. O que a gente precisa fazer é encontrar o domínio da função composta
e desenhar o gráfico dessa composição. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é domínio de uma função e como compor funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Começamos encontrando o domínio de
. A raiz quadrada só está definida quando o que está dentro dela é maior ou igual a zero.
Então, temos:
Assim, o domínio de
é
, ou seja,
.
Passo 3
Agora vamos compor as funções, ou seja,
. Para encontrar o domínio de
, precisamos que
esteja no domínio de
.
A função
está definida para todos os
exceto quando
, porque a divisão por zero não é permitida. Então, precisamos garantir que
.
Isso significa:
Como já sabemos que
pelo domínio de
, e agora excluímos
, o domínio de
é
, ou seja,
.
Passo 4
Para esboçar o gráfico de
, vamos analisar como a função se comporta:
- Quando
se aproxima de 4 pela direita ( ), se aproxima de 0, então tende ao infinito. Isso cria uma assíntota vertical em . - Conforme
aumenta, aumenta, e portanto diminui, aproximando-se de 0, mas nunca alcançando zero. Isso cria uma assíntota horizontal em .
O gráfico será uma curva que começa muito alta perto de
e vai descendo suavemente em direção ao eixo
conforme
aumenta.
Resposta
O domínio da função composta
é
. O gráfico de
apresenta uma assíntota vertical em
e uma assíntota horizontal em
, com a curva decrescendo à medida que
aumenta.