Calcule
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral dupla , onde a região
está definida por
entre 1 e 2, e
entre 0 e
. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais duplas, especificamente integrando funções sobre uma região retangular. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a integral dupla de forma iterada, ou seja, integrando primeiro em relação a
e depois em relação a
:
Passo 3
Vamos focar na parte interna da integral, que é . Para resolver essa integral, vamos usar o método de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções.
A fórmula da integração por partes é:
Passo 4
Identificamos as partes para aplicar a fórmula:
Aqui, integramos
para encontrar
.
Passo 5
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Agora, precisamos integrar
em relação a
:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão anterior:
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a
:
Passo 7
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Então, a diferença é:
Passo 8
Agora, substituímos isso de volta na integral externa:
Vamos dividir essa integral em duas partes:
Passo 9
Essas integrais não têm soluções elementares simples, mas podemos usar métodos numéricos ou conhecer que elas envolvem funções especiais como a função Seno Integral (
). Para fins de resposta final, vamos deixá-las como expressões integrais:
Resposta
A integral dupla sobre a região
é igual a: