Calcule
integral duplaR y sen(x y) d A, R:[1,2] times[0, pi]

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral dupla , onde a região está definida por entre 1 e 2, e entre 0 e . A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais duplas, especificamente integrando funções sobre uma região retangular. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral dupla de forma iterada, ou seja, integrando primeiro em relação a integralx=1^2 integraly=0^pi y sen(x y) , dy , dx e depois em relação a :

Passo 3

Vamos focar na parte interna da integral, que é . Para resolver essa integral, vamos usar o método de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções.
A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = u v - integral v , du

Passo 4

Identificamos as partes para aplicar a fórmula:
Aqui, integramos para encontrar .

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Agora, precisamos integrar integral y sen(x y) , dy = -yx cos(x y) + 1x integral cos(x y) , dy em relação a integral cos(x y) , dy = 1x sen(x y) :

Passo 6

Substituindo de volta na expressão anterior:
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a integral y sen(x y) , dy = -yx cos(x y) + 1x^2 sen(x y) + C :

Passo 7

Calculando nos limites:
Para -pix cos(x pi) + 1x^2 sen(x pi) :
Para -0 + 1x^2 sen(0) = 0 :
Então, a diferença é:

Passo 8

Agora, substituímos isso de volta na integral externa:
Vamos dividir essa integral em duas partes:

Passo 9

Essas integrais não têm soluções elementares simples, mas podemos usar métodos numéricos ou conhecer que elas envolvem funções especiais como a função Seno Integral ( -pi integral1^2 cos(x pi)x , dx + integral1^2 sen(x pi)x^2 , dx ). Para fins de resposta final, vamos deixá-las como expressões integrais:

Resposta

A integral dupla sobre a região -pi integral1^2 cos(x pi)x , dx + integral1^2 sen(x pi)x^2 , dx é igual a:

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