Estude a continuidade da seguinte função:
Passo 1
A função dada é uma função por partes que usa
para
e define
. Vamos estudar a continuidade: lembrando que uma função é contínua num ponto se o limite naquele ponto existe e coincide com o valor da função.
Para , a função é quociente de duas funções contínuas (
e
) e o denominador não anula. Logo
é contínua em todo
por propriedades de soma, produto e quociente de funções contínuas.
Para
Passo 2
Em
temos forma indeterminada
ao avaliar
. Para resolver, aplicamos a regra de l’Hôpital: derivada de
é
e derivada de
é 1.
Portanto
Portanto
Como esse limite é
e coincide com
, a função é contínua também em
.
Juntando tudo, é contínua para todo
.
Juntando tudo,
Resposta
A função é contínua em todo
.