Estude a continuidade da seguinte função:
f(x)=lsen xx-pi, x neq pi -1, x=pi

Passo 1

A função dada é uma função por partes que usa
sin xx-pi para xneqpi e define f(pi)=-1. Vamos estudar a continuidade: lembrando que uma função é contínua num ponto se o limite naquele ponto existe e coincide com o valor da função.
Para xneqpi, a função é quociente de duas funções contínuas ( sin x e x-pi) e o denominador não anula. Logo f é contínua em todo xneqpi por propriedades de soma, produto e quociente de funções contínuas.

Passo 2

Em x=pi temos forma indeterminada 0/0 ao avaliar limxtopisin xx-pi. Para resolver, aplicamos a regra de l’Hôpital: derivada de sin x é cos x e derivada de x-pi é 1.
Portanto
limxtopisin xx-pi=limxtopicos x1=cospi=-1
Como esse limite é -1 e coincide com f(pi)=-1, a função é contínua também em x=pi.
Juntando tudo, f(x) é contínua para todo xinR.

Resposta

A função é contínua em todo R.

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