Verifique se a sequência converge ou diverge
Sn=sumk=0^+infty kk^2+1 (3.1, 1.h, p. 42)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série infinita S=sumk=0^inftykk^2+1 converge ou diverge. O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries numéricas, em particular o teste da comparação de limite.

Passo 2

Definimos o termo geral da série como ak=kk^2+1. Observamos que o primeiro termo (para k=0) vale zero, então o comportamento assintótico para ktoinfty é o que importa.

Passo 3

Para testar a convergência, vamos usar o teste da comparação de limite. A ideia é comparar ak com uma série padrão cuja convergência já conhecemos, por exemplo a série harmônica sumk=1^inftytfrac1k, que diverge.

Passo 4

Calculamos o limite
L=limktoinftyak1/k=limktoinftytfrackk^2+1tfrac1k=limktoinftyk^2k^2+1=1
Como 0< L, pelas hipóteses do teste da comparação de limite, a série sum ak e a série harmônica têm o mesmo comportamento de convergência.

Passo 5

Sabendo que a série harmônica diverge, concluímos que a série sumk=0^inftykk^2+1 também diverge.

Resposta

A série diverge.

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