Verifique se a sequência converge ou diverge
(3.1, 1.h, p. 42)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série infinita
converge ou diverge. O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries numéricas, em particular o teste da comparação de limite.
Passo 2
Definimos o termo geral da série como
. Observamos que o primeiro termo (para
) vale zero, então o comportamento assintótico para
é o que importa.
Passo 3
Para testar a convergência, vamos usar o teste da comparação de limite. A ideia é comparar
com uma série padrão cuja convergência já conhecemos, por exemplo a série harmônica
, que diverge.
Passo 4
Calculamos o limite
Como
, pelas hipóteses do teste da comparação de limite, a série
e a série harmônica têm o mesmo comportamento de convergência.
Passo 5
Sabendo que a série harmônica diverge, concluímos que a série
também diverge.
Resposta
A série diverge.