Calcule:
integral duplaR y sen(x y) d A ; R=[1,2] times[0, pi4]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla:
integral duplaR y cdot sin(x y) , dA ; R=[1,2] times[0, pi4]
Isso está dentro da matéria de Cálculo Integral, mais especificamente nas integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de integração, como a troca da ordem de integração e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração $ R $. Estamos integrando para $ x $ entre 1 e 2, e para $ y $ entre 0 e $ \frac{\pi}{4} $. Então, nossa integral fica assim:
R

Passo 3

Vamos integrar primeiro em relação a $ y $. Note que temos a expressão $ y \cdot \sin(x y) $. Para integrar isso, podemos usar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. A fórmula da integração por partes é:
y
Aqui, vamos escolher:
  • $ u = y $ (então $ du = dy $)
  • $ dv = \sin(x y) , dy $ (então $ v = -\frac{\cos(x y)}{x} $)

Passo 4

Aplicando a integração por partes:
integral y cdot sin(x y) , dy = -y cdot cos(x y)x + 1x integral cos(x y) , dy
Agora, precisamos integrar $ \cos(x y) $ em relação a $ y $:
cos(x y)
Então, substituindo de volta:
y

Passo 5

Agora, vamos avaliar essa expressão de $ y = 0 $ até $ y = \frac{\pi}{4} $:
y = 0
Simplificando:
y = pi4

Passo 6

Agora, precisamos integrar essa expressão em relação a $ x $ de 1 a 2:
x
Essa integral pode parecer complicada, mas vamos simplificar quebrando-a em duas partes:
integral1^2 ( -pi4x cdot cos(pi x4) + sin(pi x4)x^2 ) dx

Passo 7

Vamos resolver cada integral separadamente. Porém, essas integrais não possuem uma antiderivada elementar simples, ou seja, não podemos expressá-las facilmente em termos de funções básicas. Nesse caso, podemos usar aproximações numéricas ou reconhecer que elas fazem parte de funções especiais.
Porém, observando que o problema está estruturado de maneira que a troca da ordem de integração facilitaria, vamos tentar essa abordagem.

Passo 8

Vamos inverter a ordem de integração. Originalmente, tínhamos $ x $ de 1 a 2 e $ y $ de 0 a $ \frac{\pi}{4} $. Invertendo, teremos $ y $ de 0 a $ \frac{\pi}{4} $ e $ x $ de 1 a 2. Assim, a integral fica:
x

Passo 9

Agora, vamos integrar em relação a $ x $. Temos:
x
Podemos fazer uma substituição simples aqui. Deixe $ u = x y $, então $ du = y , dx $, ou seja, $ dx = \frac{du}{y} $.
Substituindo:
integral1^2 y cdot sin(x y) , dx
Então, a integral de $ x $ de 1 a 2 é:
u = x y

Passo 10

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a $ y $:
y
Integrando termo a termo:
integral0^pi4 ( -cos(2 y) + cos(y) ) dy
As integrais são:
- integral cos(2 y) , dy + integral cos(y) , dy

Passo 11

Agora, avaliamos de $ y = 0 $ a $ y = \frac{\pi}{4} $:
y = 0
Simplificando:
y = pi4

Resposta

Portanto, o valor da integral dupla é:
raiz22 - 12

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