Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla:
Isso está dentro da matéria de Cálculo Integral, mais especificamente nas integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de integração, como a troca da ordem de integração e propriedades das funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração $ R $. Estamos integrando para $ x $ entre 1 e 2, e para $ y $ entre 0 e $ \frac{\pi}{4} $. Então, nossa integral fica assim:
Passo 3
Vamos integrar primeiro em relação a $ y $. Note que temos a expressão $ y \cdot \sin(x y) $. Para integrar isso, podemos usar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. A fórmula da integração por partes é:
Aqui, vamos escolher:
- $ u = y $ (então $ du = dy $)
- $ dv = \sin(x y) , dy $ (então $ v = -\frac{\cos(x y)}{x} $)
Passo 4
Aplicando a integração por partes:
Agora, precisamos integrar $ \cos(x y) $ em relação a $ y $:
Então, substituindo de volta:
Passo 5
Agora, vamos avaliar essa expressão de $ y = 0 $ até $ y = \frac{\pi}{4} $:
Simplificando:
Passo 6
Agora, precisamos integrar essa expressão em relação a $ x $ de 1 a 2:
Essa integral pode parecer complicada, mas vamos simplificar quebrando-a em duas partes:
Passo 7
Vamos resolver cada integral separadamente. Porém, essas integrais não possuem uma antiderivada elementar simples, ou seja, não podemos expressá-las facilmente em termos de funções básicas. Nesse caso, podemos usar aproximações numéricas ou reconhecer que elas fazem parte de funções especiais.
Porém, observando que o problema está estruturado de maneira que a troca da ordem de integração facilitaria, vamos tentar essa abordagem.
Passo 8
Vamos inverter a ordem de integração. Originalmente, tínhamos $ x $ de 1 a 2 e $ y $ de 0 a $ \frac{\pi}{4} $. Invertendo, teremos $ y $ de 0 a $ \frac{\pi}{4} $ e $ x $ de 1 a 2. Assim, a integral fica:
Passo 9
Agora, vamos integrar em relação a $ x $. Temos:
Podemos fazer uma substituição simples aqui. Deixe $ u = x y $, então $ du = y , dx $, ou seja, $ dx = \frac{du}{y} $.
Substituindo:
Então, a integral de $ x $ de 1 a 2 é:
Passo 10
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a $ y $:
Integrando termo a termo:
As integrais são:
Passo 11
Agora, avaliamos de $ y = 0 $ a $ y = \frac{\pi}{4} $:
Simplificando:
Resposta
Portanto, o valor da integral dupla é: