Determine o volume do sólido
limitado pela superfície
e os planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos descobrir o volume do sólido $ W $ que está limitado pela superfície $ z = y^{2} $ e pelos planos $ z = 0 $, $ x = 0 $, $ x = 1 $, $ y = -1 $ e $ y = 1 $. Para isso, vamos usar o conceito de integrais múltiplas, que nos ajuda a calcular volumes de regiões no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender os limites de integração para cada variável $ x $, $ y $ e $ z $. Observando os planos fornecidos:
- $ x $ varia de 0 a 1.
- $ y $ varia de -1 a 1.
- Para cada $ y $, $ z $ varia de 0 até $ y^{2} $.
Passo 3
Com esses limites, podemos configurar a integral tripla para calcular o volume $ V $:
Aqui, integramos primeiro em relação a $ z $, depois a $ y $ e, por último, a $ x $.
Passo 4
Vamos resolver a integral mais interna, que é com respeito a $ z $:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, resolvemos a integral em relação a $ y $:
Portanto, a integral fica:
Passo 6
Finalmente, resolvemos a integral em relação a $ x $:
Resposta
O volume do sólido $ W $ é $ \frac{2}{3} $.