Determine o volume do sólido W limitado pela superfície z=y^2 e os planos z=0, x=0, x=1, y=-1 e y=1.

Passo 1

Beleza, vamos descobrir o volume do sólido $ W $ que está limitado pela superfície $ z = y^{2} $ e pelos planos $ z = 0 $, $ x = 0 $, $ x = 1 $, $ y = -1 $ e $ y = 1 $. Para isso, vamos usar o conceito de integrais múltiplas, que nos ajuda a calcular volumes de regiões no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender os limites de integração para cada variável $ x $, $ y $ e $ z $. Observando os planos fornecidos:
  • $ x $ varia de 0 a 1.
  • $ y $ varia de -1 a 1.
  • Para cada $ y $, $ z $ varia de 0 até $ y^{2} $.

Passo 3

Com esses limites, podemos configurar a integral tripla para calcular o volume $ V $:
V
Aqui, integramos primeiro em relação a $ z $, depois a $ y $ e, por último, a $ x $.

Passo 4

Vamos resolver a integral mais interna, que é com respeito a $ z $:
z
Então, a integral fica:
integralz=0^y^2 dz = y^2 - 0 = y^2

Passo 5

Agora, resolvemos a integral em relação a $ y $:
y
Portanto, a integral fica:
integraly=-1^1 y^2 , dy = [ y^33 ]-1^1 = 1^33 - (-1)^33 = 13 - ( -13 ) = 23

Passo 6

Finalmente, resolvemos a integral em relação a $ x $:
x

Resposta

O volume do sólido $ W $ é $ \frac{2}{3} $.

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