Calcule:
; onde
é o triângulo de vértices
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral dupla
, onde
é o triângulo com vértices em
,
e
. A matéria que vamos usar aqui é cálculo integral, especificamente integrais duplas sobre regiões delimitadas. Para resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração para a região triangular
e aplicar integração iterada.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. O triângulo tem vértices em
,
e
. Isso significa que
varia de
a
. Para cada valor de
,
varia de
até
. Então, nossos limites de integração serão:
-
de a - Para cada
, de a
Passo 3
Agora, vamos escrever a integral dupla usando esses limites:
Aqui,
é a área infinitesimal, que no caso de integrais iteradas, se decompõe em
.
Passo 4
Vamos integrar primeiro em relação a
. Note que
é constante em relação a
, então a integral interna fica:
Passo 5
Agora, substituímos a integral interna e ficamos com uma única integral em relação a
:
Passo 6
Para resolver
, podemos usar a identidade trigonométrica
. Substituindo:
Passo 7
Resolvemos as duas integrais separadamente:
-
-
Para
, usamos integração por partes: - Seja
então - Seja
então
Aplicando integração por partes: - Seja
Passo 8
Juntando tudo, a integral em relação a
fica:
Agora, avaliamos de
a
:
Simplificando:
Resposta
A integral dupla vale
.