Calcule:
integral duplaD seny^2 d A; onde D é o triângulo de vértices (0,0) ;(0,1) e(1,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla integral duplaD sin^2(y) , dA, onde D é o triângulo com vértices em (0,0), (0,1) e (1,1). A matéria que vamos usar aqui é cálculo integral, especificamente integrais duplas sobre regiões delimitadas. Para resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração para a região triangular D e aplicar integração iterada.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região D. O triângulo tem vértices em (0,0), (0,1) e (1,1). Isso significa que y varia de 0 a 1. Para cada valor de y, x varia de 0 até y. Então, nossos limites de integração serão:
  • y de 0 a 1
  • Para cada y, x de 0 a y

Passo 3

Agora, vamos escrever a integral dupla usando esses limites:
integral duplaD sin^2(y) , dA = integraly=0^1 integralx=0^y sin^2(y) , dx , dy
Aqui, dA é a área infinitesimal, que no caso de integrais iteradas, se decompõe em dx , dy.

Passo 4

Vamos integrar primeiro em relação a x. Note que sin^2(y) é constante em relação a x, então a integral interna fica:
integralx=0^y sin^2(y) , dx = sin^2(y) cdot integralx=0^y dx = sin^2(y) cdot (y - 0) = y cdot sin^2(y)

Passo 5

Agora, substituímos a integral interna e ficamos com uma única integral em relação a y:
integraly=0^1 y cdot sin^2(y) , dy

Passo 6

Para resolver integral y cdot sin^2(y) , dy, podemos usar a identidade trigonométrica sin^2(y) = 1 - cos(2y)2. Substituindo:
integral y cdot 1 - cos(2y)2 , dy = 12 integral y , dy - 12 integral y cos(2y) , dy

Passo 7

Resolvemos as duas integrais separadamente:
  1. 12 integral y , dy = 12 cdot y^22 = y^24
  2. Para 12 integral y cos(2y) , dy, usamos integração por partes:
    • Seja u = y então du = dy
    • Seja dv = cos(2y) , dy então v = sin(2y)2
    Aplicando integração por partes:
    12 ( y cdot sin(2y)2 - integral sin(2y)2 , dy ) = y sin(2y)4 + cos(2y)8

Passo 8

Juntando tudo, a integral em relação a y fica:
y^24 - ( y sin(2y)4 + cos(2y)8 ) = y^24 - y sin(2y)4 - cos(2y)8
Agora, avaliamos de 0 a 1:
[ 1^24 - 1 cdot sin(2 cdot 1)4 - cos(2 cdot 1)8 ] - [ 0^24 - 0 cdot sin(0)4 - cos(0)8 ]
Simplificando:
( 14 - sin(2)4 - cos(2)8 ) - ( 0 - 0 - 18 ) = 14 - sin(2)4 - cos(2)8 + 18
= 38 - sin(2)4 - cos(2)8

Resposta

A integral dupla vale 38 - sin(2)4 - cos(2)8.

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