Calcule:
; onde
está no primeiro quadrante e é limitada pela circunferência
e pelos eixos coordenados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla
, onde a região
está no primeiro quadrante, limitada pela circunferência
e pelos eixos coordenados. Esse problema envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais em coordenadas polares, que facilitam o cálculo em regiões circulares.
Passo 2
Primeiro, vamos mudar as coordenadas cartesianas
para coordenadas polares
. Nas coordenadas polares, temos:
E a área diferencial em coordenadas polares é:
Passo 3
Na região
, que está no primeiro quadrante e limitada pela circunferência
, o raio
varia de
a
, e o ângulo
varia de
a
(90 graus) para cobrir o primeiro quadrante. Então, podemos reescrever a integral em coordenadas polares:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Fazendo a substituição
, temos
, ou seja,
. A integral fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar em relação a
:
Resposta
Multiplicando os resultados das integrais, temos: