Calcule:
integral duplaD e^-(x^2+y^2) d A; onde D está no primeiro quadrante e é limitada pela circunferência x^2+y^2=a^2 e pelos eixos coordenados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla integral duplaD e^-(x^2+y^2) d A, onde a região D está no primeiro quadrante, limitada pela circunferência x^2+y^2=a^2 e pelos eixos coordenados. Esse problema envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais em coordenadas polares, que facilitam o cálculo em regiões circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos mudar as coordenadas cartesianas (x, y) para coordenadas polares (r, theta). Nas coordenadas polares, temos:
x = r costheta y = r sintheta
E a área diferencial em coordenadas polares é:
dA = r , dr , dtheta

Passo 3

Na região D, que está no primeiro quadrante e limitada pela circunferência x^2+y^2=a^2, o raio r varia de 0 a a, e o ângulo theta varia de 0 a pi2 (90 graus) para cobrir o primeiro quadrante. Então, podemos reescrever a integral em coordenadas polares:
integral duplaD e^-(x^2+y^2) d A = integral0^pi2 integral0^a e^-r^2 cdot r , dr , dtheta

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em relação a r:
integral0^a e^-r^2 cdot r , dr
Fazendo a substituição u = -r^2, temos du = -2r , dr, ou seja, r , dr = -12 du. A integral fica:
-12 integral0^-a^2 e^u , du = 12 (1 - e^-a^2)

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a theta:
integral0^pi2 dtheta = pi2

Resposta

Multiplicando os resultados das integrais, temos:
integral duplaD e^-(x^2+y^2) d A = pi4 (1 - e^-a^2)

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