Se z=f(x, y), onde x=s+t e y=s-t, mostre que
(partial zpartial x)^2-(partial zpartial y)^2=partial zpartial s partial tpartial x

Passo 1

O enunciado pede para mostrar uma relação entre as derivadas parciais de z quando trocamos as variáveis (x,y) por (s,t). O conteúdo principal é a regra da cadeia para derivadas parciais, que diz como calcular derivadas de uma função composta. Vamos usar que z=f(x,y), x=s+t e y=s−t.

Passo 2

Para aplicar a regra da cadeia, escrevemos z como função de s e t: z(s,t)=f(x(s,t),y(s,t)). Então suas derivadas parciais são dadas por
partial zpartial s=partial fpartial x,partial xpartial s+partial fpartial y,partial ypartial s,
[\frac{\partial z}{\partial t}=\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial y}{\partial t}.

Passo 3

Como x=s+t e y=s−t, temos ∂x/∂s=1, ∂y/∂s=1, ∂x/∂t=1 e ∂y/∂t=−1. Substituindo:
partial zpartial s=fx+fy,
partial zpartial t=fx-fy,
onde escrevemos f_x=∂f/∂x=∂z/∂x e f_y=∂f/∂y=∂z/∂y.

Passo 4

Basta então multiplicar essas duas expressões:
partial zpartial s;partial zpartial t=(fx+fy)(fx-fy)=fx^2-fy^2,
que é exatamente
l(partial zpartial xr)^2-l(partial zpartial yr)^2

Resposta

l(tfracpartial zpartial xr)^2-l(tfracpartial zpartial yr)^2=tfracpartial zpartial s;tfracpartial zpartial t.

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