Se
, onde
e
, mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar uma relação entre as derivadas parciais de z quando trocamos as variáveis (x,y) por (s,t). O conteúdo principal é a regra da cadeia para derivadas parciais, que diz como calcular derivadas de uma função composta. Vamos usar que z=f(x,y), x=s+t e y=s−t.
Passo 2
Para aplicar a regra da cadeia, escrevemos z como função de s e t: z(s,t)=f(x(s,t),y(s,t)). Então suas derivadas parciais são dadas por
[\frac{\partial z}{\partial t}=\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial y}{\partial t}.
Passo 3
Como x=s+t e y=s−t, temos ∂x/∂s=1, ∂y/∂s=1, ∂x/∂t=1 e ∂y/∂t=−1. Substituindo:
onde escrevemos f_x=∂f/∂x=∂z/∂x e f_y=∂f/∂y=∂z/∂y.
Passo 4
Basta então multiplicar essas duas expressões:
que é exatamente