Dada a função
. Faça um esboço do gráfico de f determinando primeiro:
os pontos de inflexão do gráfico de f;
os pontos de inflexão do gráfico de f;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente tem a função $ f(x) = 5x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{5}{3}} $ e precisa fazer um esboço do gráfico dela. Primeiro, vamos focar nos pontos de inflexão. Para isso, vamos precisar entender de derivadas, que são ferramentas que nos ajudam a analisar como a função se comporta, tipo onde ela muda de curva.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de $ f(x) $, que é a taxa de variação da função. A derivada de $ x^n $ é $ n \cdot x^{n-1} $. Aplicando isso:
Passo 3
Agora, vamos achar a segunda derivada, $ f’’(x) $, que nos diz sobre a concavidade da função e onde ela pode mudar, ou seja, os pontos de inflexão. Derivando $ f’(x) $:
Simplificando:
Passo 4
Para encontrar os pontos de inflexão, precisamos resolver onde $ f’’(x) = 0 $. Olhando a expressão de $ f’’(x) $, vemos que:
Isso acontece quando:
Mas isso nunca ocorre para valores reais de $ x $, já que ambos os termos são positivos ou negativos juntos, mas nunca somam zero. Portanto, não há pontos de inflexão na função.
Passo 5
Apesar de não haver pontos de inflexão, é importante verificar o comportamento da função para entender o esboço do gráfico. Observamos que para $ x > 0 $, $ f(x) $ é bem definida, e a concavidade é sempre para baixo devido a $ f’’(x) $ ser sempre negativa. Para $ x < 0 $, a função também está definida, mas é boa verificar o gráfico geral para confirmar.
Resposta
A função $ f(x) = 5x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{5}{3}} $ não possui pontos de inflexão.