Calcule:
onde
é a região no
quadrante limitada por
, e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla de f(x,y)=xy sobre a região R no primeiro quadrante limitada por y²=x, y=0 e x=1. O conteúdo é integrais duplas e vamos usar integrais iteradas para resolver.
Passo 2
Para descrever R, note que y varia de 0 até √x para cada x entre 0 e 1. Alternativamente, para cada y entre 0 e 1, x varia de y² até 1. Aqui escolhemos a ordem dy dx.
Escrevendo a integral como iterada em x primeiro:
Escrevendo a integral como iterada em x primeiro:
Passo 3
Agora calculamos a integral interna em y. Como x é constante dentro da integral em y, temos
Passo 4
Por fim, integramos em x: