Calcule:
integral duplaR x y d A
onde R é a região no 1^0 quadrante limitada por y^2=x, y=0, e x=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla de f(x,y)=xy sobre a região R no primeiro quadrante limitada por y²=x, y=0 e x=1. O conteúdo é integrais duplas e vamos usar integrais iteradas para resolver.

Passo 2

Para descrever R, note que y varia de 0 até √x para cada x entre 0 e 1. Alternativamente, para cada y entre 0 e 1, x varia de y² até 1. Aqui escolhemos a ordem dy dx.
Escrevendo a integral como iterada em x primeiro:
integral duplaR x y ,dA = integralx=0^1 l(integraly=0^raizx x y ,dyr) ,dx

Passo 3

Agora calculamos a integral interna em y. Como x é constante dentro da integral em y, temos
integral0^raizx x y ,dy = x integral0^raizx y ,dy = x gl[y^22gr]0^raizx = x cdot x2 = x^22

Passo 4

Por fim, integramos em x:
integral0^1 x^22 ,dx = 12 integral0^1 x^2 ,dx = 12 gl[x^33gr]0^1 = 12 cdot 13 = 16

Resposta

1/6

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