Sabendo que g^(13)(-4)=11, calcule a derivada de ordem 13 da função f(x)=g(5 x+1)+3 sen(pi x) no ponto x=-1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a 13ª derivada da função $ f(x) = g(5x + 1) + 3 \sin(\pi x) $ no ponto $ x = -1 $. Isso envolve entender derivadas de funções compostas e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da cadeia e conhecer as derivadas de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a parte $ g(5x + 1) $ da função. Sabemos que queremos a 13ª derivada dessa função no ponto $ x = -1 $. A regra da cadeia nos diz que quando temos uma função composta como $ g(5x + 1) $, a derivada envolve multiplicar pela derivada do argumento interno.
Então, a 13ª derivada de $ g(5x + 1) $ será:
g(5x + 1)
Aqui, usamos $ 5^{13} $ porque a derivada de $ 5x + 1 $ em cada aplicação da regra da cadeia é 5, e como estamos derivando 13 vezes, elevamos 5 à 13ª potência.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda parte da função: $ 3 \sin(\pi x) $. Precisamos encontrar a 13ª derivada dessa expressão no ponto $ x = -1 $.
As derivadas das funções seno seguem um padrão que se repete a cada 4 derivações:
3 sin(pi x)
Perceba que após 4 derivações, o ciclo se repete. Para a 13ª derivada, dividimos 13 por 4 e olhamos o resto:
x = -1
Isso significa que a 13ª derivada de $ \sin(\pi x) $ é igual à primeira derivada, que é $ \pi^{13} \cos(\pi x) $.
Então, a 13ª derivada de $ 3 \sin(\pi x) $ é:
ddx sin(pi x) &= pi cos(pi x) d^2dx^2 sin(pi x) &= -pi^2 sin(pi x) d^3dx^3 sin(pi x) &= -pi^3 cos(pi x) d^4dx^4 sin(pi x) &= pi^4 sin(pi x)

Passo 4

Agora, vamos substituir $ x = -1 $ nas duas partes que derivamos.
Para a parte com $ g $:
x = -1
Sabemos que $ g^{(13)}(-4) = 11 $, então:
g
Para a parte com $ \sin $:
g^(13)(5(-1) + 1) cdot 5^13 = g^(13)(-4) cdot 5^13
Como $ \cos(-\pi) = \cos(\pi) = -1 $, temos:
g^(13)(-4) = 11

Resposta

Portanto, a 13ª derivada de $ f(x) $ no ponto $ x = -1 $ é:
f(x)

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