Sabendo que
, calcule a derivada de ordem 13 da função
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a 13ª derivada da função $ f(x) = g(5x + 1) + 3 \sin(\pi x) $ no ponto $ x = -1 $. Isso envolve entender derivadas de funções compostas e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da cadeia e conhecer as derivadas de funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a parte $ g(5x + 1) $ da função. Sabemos que queremos a 13ª derivada dessa função no ponto $ x = -1 $. A regra da cadeia nos diz que quando temos uma função composta como $ g(5x + 1) $, a derivada envolve multiplicar pela derivada do argumento interno.
Então, a 13ª derivada de $ g(5x + 1) $ será:
Aqui, usamos $ 5^{13} $ porque a derivada de $ 5x + 1 $ em cada aplicação da regra da cadeia é 5, e como estamos derivando 13 vezes, elevamos 5 à 13ª potência.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda parte da função: $ 3 \sin(\pi x) $. Precisamos encontrar a 13ª derivada dessa expressão no ponto $ x = -1 $.
As derivadas das funções seno seguem um padrão que se repete a cada 4 derivações:
Perceba que após 4 derivações, o ciclo se repete. Para a 13ª derivada, dividimos 13 por 4 e olhamos o resto:
Isso significa que a 13ª derivada de $ \sin(\pi x) $ é igual à primeira derivada, que é $ \pi^{13} \cos(\pi x) $.
Então, a 13ª derivada de $ 3 \sin(\pi x) $ é:
Passo 4
Agora, vamos substituir $ x = -1 $ nas duas partes que derivamos.
Para a parte com $ g $:
Sabemos que $ g^{(13)}(-4) = 11 $, então:
Para a parte com $ \sin $:
Como $ \cos(-\pi) = \cos(\pi) = -1 $, temos:
Resposta
Portanto, a 13ª derivada de $ f(x) $ no ponto $ x = -1 $ é: