Derive a função.
k(r)=e^r+r^r

Passo 1

Resumo do enunciado: Queremos derivar a função k(r)=e^r+r^r. O conteúdo é cálculo de derivadas de funções exponenciais e de uma potência em que base e expoente variam. Vamos usar a regra de derivação de e^r e a técnica de escrever r^r como exponencial para aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Derivada de e^r: A função exponencial se auto-deriva, então temos
ddrl(e^rr)=e^r
Reescrevendo r^r em forma exponencial: Para usar a regra da cadeia, escrevemos
r^r=e^rln r

Passo 3

Derivada do expoente rln r: Aplicando a regra do produto em rln r, obtemos
ddr(rln r)=1cdotln r + rcdot1r=ln r+1

Passo 4

Derivada de r^r pela regra da cadeia: Como r^r=e^rln r,
ddr(r^r)=e^rln rcdot(ln r+1)=r^r(ln r+1)

Passo 5

Combinação final: Somamos as derivadas de cada parcela para obter k'(r).

Resposta

k'(r)=e^r+r^r(ln r+1)

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