Calcule a integral
em que
é a região
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é tipo somar infinitos pedacinhos de área dentro da região $ R $. A questão é calcular
, onde $ R $ é o retângulo definido por
e
. Para isso, vamos usar o cálculo de integrais duplas sobre regiões retangulares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que uma integral dupla em uma região retangular pode ser resolvida fazendo duas integrações simples: uma em
e outra em
. A ordem pode ser
depois
, ou vice-versa. Vamos integrar primeiro em
e depois em
.
Passo 3
Vamos escrever a integral dupla como uma integral iterada:
Aqui, fixamos um valor de
e integramos em
de
a
, depois integramos o resultado em
de
a
.
Passo 4
Vamos começar integrando a função
em relação a
. Como
é constante em relação a
, podemos tirar
de fora da integral:
Agora, integramos
em relação a
:
Passo 5
Aplicando os limites de integração para
:
Passo 6
Agora, substituímos esse resultado na integral em
:
Vamos integrar
em relação a
:
Passo 7
Aplicando os limites de integração para
:
Resposta
O valor da integral dupla é
.