Calcule a integral integral duplaR x^2 y^3 d A em que R é a região
R=(x, y) in R^2 mid-1 <= x <= 2,0 <= y <= 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é tipo somar infinitos pedacinhos de área dentro da região $ R $. A questão é calcular R , onde $ R $ é o retângulo definido por integral duplaR x^2 y^3 d A e R . Para isso, vamos usar o cálculo de integrais duplas sobre regiões retangulares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que uma integral dupla em uma região retangular pode ser resolvida fazendo duas integrações simples: uma em x e outra em y. A ordem pode ser dy depois dx, ou vice-versa. Vamos integrar primeiro em x e depois em y.

Passo 3

Vamos escrever a integral dupla como uma integral iterada:
integraly=0^2 integralx=-1^2 x^2 y^3 , dx , dy
Aqui, fixamos um valor de y e integramos em x de -1 a 2, depois integramos o resultado em y de 0 a 2.

Passo 4

Vamos começar integrando a função x^2 y^3 em relação a x. Como y^3 é constante em relação a x, podemos tirar y^3 de fora da integral:
integralx=-1^2 x^2 y^3 , dx = y^3 integralx=-1^2 x^2 , dx
Agora, integramos x^2 em relação a x:
integral x^2 , dx = x^33 + C

Passo 5

Aplicando os limites de integração para x:
y^3 [ x^33 ]-1^2 = y^3 ( 2^33 - (-1)^33 ) = y^3 ( 83 - -13 ) = y^3 ( 93 ) = 3 y^3

Passo 6

Agora, substituímos esse resultado na integral em y:
integral0^2 3 y^3 , dy
Vamos integrar 3 y^3 em relação a y:
3 integral y^3 , dy = 3 ( y^44 ) = 34 y^4

Passo 7

Aplicando os limites de integração para y:
34 [ y^4 ]0^2 = 34 ( 2^4 - 0^4 ) = 34 times 16 = 12

Resposta

O valor da integral dupla é 12.

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