Determine em que pontos as seguintes funçc̃es são contínuas:
a) f(x)=arctg(cos (x)+sen(x)x^4+x^2+1)

Passo 1

Temos a função f:RtoR dada por f(x)=arctgl(cos(x)+sen(x)x^4+x^2+1r). O conteúdo envolvido é continuidade de funções elementares (função arco-tangente, funções trigonométricas e funções racionais) e continuidade de composição de funções.

Passo 2

Primeiro, lembramos que arctg(y) é contínua para todo yinR, e que funções racionais R(x)=P(x)Q(x) são contínuas em todos os pontos onde Q(x)neq0. Aqui, o numerador cos(x)+sen(x) é contínuo em R e o denominador x^4+x^2+1 é um polinômio.

Passo 3

Para ver se o denominador zera em algum ponto, façamos t=x^2>=0. Então x^4+x^2+1=t^2+t+1. O polinômio t^2+t+1 tem discriminante De, logo não possui raízes reais. Isso significa que x^4+x^2+1>0 para todo xinR. Portanto, cos(x)+sen(x)x^4+x^2+1 é contínua em todo R.

Passo 4

Como a composição de funções contínuas é contínua, e temos xmapstocos(x)+sen(x)x^4+x^2+1 contínua em R e arctg(y) contínua em R, concluímos que f(x) é contínua para todo xinR.

Resposta

f é contínua em todo R.

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