Responda o que se pede:
Encontre uma aproximação para a integral integral duplaR x y d A em que R=[-2,2] times[-2,2], usando uma partição em quatro retângulos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar uma aproximação para a integral dupla integral duplaR x y , dA, onde a região R é um quadrado que vai de -2 a 2 em ambos os eixos x e y. Isso faz parte do estudo de integrais duplas em cálculo, especificamente usando somas de Riemann para aproximar integrais. Vamos precisar dividir esse quadrado em quatro retângulos menores para facilitar a aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como dividir a região R = [-2,2] times [-2,2] em quatro retângulos iguais. Como o intervalo de x é de -2 a 2, e o de y também é de -2 a 2, podemos dividir cada eixo em dois partes iguais:
  • Para x: de -2 a 0 e de 0 a 2.
  • Para y: de -2 a 0 e de 0 a 2.
Assim, as quatro subdivisões ficam:
  1. [-2,0] times [-2,0]
  2. [-2,0] times [0,2]
  3. [0,2] times [-2,0]
  4. [0,2] times [0,2]

Passo 3

Agora, para cada um desses quatro retângulos, vamos escolher um ponto de amostragem para calcular a função f(x,y) = x y. Uma forma simples é usar o ponto central de cada retângulo. Vamos calcular as coordenadas desses pontos centrais:
  1. Para [-2,0] times [-2,0]: centro em (-1, -1)
  2. Para [-2,0] times [0,2]: centro em (-1, 1)
  3. Para [0,2] times [-2,0]: centro em (1, -1)
  4. Para [0,2] times [0,2]: centro em (1, 1)

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o valor da função f(x,y) = x y nesses pontos centrais:
  1. f(-1, -1) = (-1) times (-1) = 1
  2. f(-1, 1) = (-1) times 1 = -1
  3. f(1, -1) = 1 times (-1) = -1
  4. f(1, 1) = 1 times 1 = 1

Passo 5

Agora, cada retângulo tem uma área De. Como cada subdivisão é de largura 2 em x e 2 em y divididos por 2, então:
De
De
Portanto, a área de cada retângulo é:
De

Passo 6

Para encontrar a aproximação da integral, somamos os valores da função nos pontos centrais multiplicados pela área dos retângulos:
Aproximação = [f(-1,-1) + f(-1,1) + f(1,-1) + f(1,1)] times De
Substituindo os valores:
Aproximação = (1 + (-1) + (-1) + 1) times 4 = (0) times 4 = 0

Resposta

A aproximação para a integral integral duplaR x y , dA usando uma partição em quatro retângulos é 0.

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