Responda o que se pede:
Encontre uma aproximação para a integral
em que
, usando uma partição em quatro retângulos.
Encontre uma aproximação para a integral
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar uma aproximação para a integral dupla
, onde a região
é um quadrado que vai de
a
em ambos os eixos
e
. Isso faz parte do estudo de integrais duplas em cálculo, especificamente usando somas de Riemann para aproximar integrais. Vamos precisar dividir esse quadrado em quatro retângulos menores para facilitar a aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como dividir a região
em quatro retângulos iguais. Como o intervalo de
é de
a
, e o de
também é de
a
, podemos dividir cada eixo em dois partes iguais:
- Para
: de a e de a . - Para
: de a e de a .
Assim, as quatro subdivisões ficam:
Passo 3
Agora, para cada um desses quatro retângulos, vamos escolher um ponto de amostragem para calcular a função
. Uma forma simples é usar o ponto central de cada retângulo. Vamos calcular as coordenadas desses pontos centrais:
- Para
: centro em - Para
: centro em - Para
: centro em - Para
: centro em
Passo 4
Em seguida, vamos calcular o valor da função
nesses pontos centrais:
Passo 5
Agora, cada retângulo tem uma área
. Como cada subdivisão é de largura
em
e
em
divididos por
, então:
Portanto, a área de cada retângulo é:
Passo 6
Para encontrar a aproximação da integral, somamos os valores da função nos pontos centrais multiplicados pela área dos retângulos:
Aproximação =
Substituindo os valores:
Aproximação =
Resposta
A aproximação para a integral
usando uma partição em quatro retângulos é 0.