Responda o que se pede:
A integral do item b representa o volume do sólido acima do retângulo
e abaixo do gráfico de
? Justifique a sua resposta.
A integral do item b representa o volume do sólido acima do retângulo
Passo 1
Vamos entender a pergunta: queremos saber se a integral apresentada no item b representa o volume do sólido que está acima do retângulo $ R $ e abaixo do gráfico da função $ f $. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais duplas e como elas são usadas para calcular volumes.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre integrais duplas. Uma integral dupla é usada para calcular o volume de uma região tridimensional. Imagine que você tem uma função $ f(x, y) $ que descreve a altura de um sólido sobre cada ponto
no retângulo $ R $. Para encontrar o volume total desse sólido, você integra $ f(x, y) $ sobre a área de $ R $.
A fórmula geral para isso é:
onde $ dA $ representa um pequeno elemento de área no retângulo $ R $.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso ao nosso caso. A integral mencionada no item b provavelmente está na forma de uma integral dupla sobre o retângulo $ R $. Então, se essa integral está configurada como:
ela está, de fato, calculando o volume do sólido que está acima de $ R $ e abaixo do gráfico de $ f $.
Passo 4
Para justificar, observamos que a integral dupla soma todos os pequenos volumes $ f(x, y) \cdot dA $ para cada ponto dentro de $ R $. Isso resulta no volume total do sólido mencionado.
Resposta
Sim, a integral do item b representa o volume do sólido acima do retângulo $ R $ e abaixo do gráfico da função $ f $, pois a integral dupla $ \iint_{R} f(x, y) , dA $ calcula justamente esse volume ao somar as alturas $ f(x, y) $ sobre cada ponto de $ R $.