Calcule integral duplaR x y d x d y, onde R é o triângulo limitado pelas retas x=0, y=0 e x+y=1.

Passo 1

Esse exercício pede pra calcular a integral dupla integral duplaR x y ,dx,dy, onde a região R é o triângulo delimitado pelas retas x=0, y=0 e x+y=1. O conteúdo aqui é integração dupla sobre região plana e vamos usar integração iterada.

Passo 2

Para descrever a região R, note que x varia de 0 a 1 e, para cada x, o y varia de 0 até 1-x. Assim, escrevemos a integral iterada como:
integral duplaR x y ,dx,dy = integral0^1 ( integral0^1-x x,y ,dy ) dx

Passo 3

Vamos calcular a integral interna em y:
integral0^1-x y ,dy = [y^22]0^1-x = (1-x)^22
Logo a integral torna-se
integral0^1 x cdot (1-x)^22 ,dx = 12 integral0^1 x(1 - 2x + x^2) ,dx

Passo 4

Agora expandimos o integrando e fazemos a integral em x:
12 integral0^1 (x - 2x^2 + x^3) ,dx = 12 [x^22 - 2x^33 + x^44]0^1 = 12 (12 - 23 + 14)
Simplificando essa combinação de frações, chegamos ao valor final.

Passo 5

O valor da integral dupla calculada é 124.

Resposta

\frac{1}{24}

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