Inverta a ordem de integração e calcule a integral resultante.
integral0^1 integrale^y^e xln x d x d y

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral dupla
integral0^1integrale^y^exln x,dx,dy
e em seguida calcular o valor resultante. O conteúdo aqui é troca de ordem de integração em integrais duplas e o uso do Teorema de Fubini.

Passo 2

Precisamos descrever o domínio de integração
D=(x,y)mid 0<= y<=1,;e^y<= x<= e
Para inverter, projetamos em x: como e^y<= x<= e e 0<= y<=1 equivalem a
1=e^0<= x<= e^1=e,
e para cada x fixo, y varia de 0 até ln x.

Passo 3

Reescrevemos a integral trocando a ordem e integramos primeiro em y:
integral1^eintegral0^ln xxln x,dy,dx =integral1^exln xl[yr]0^ln x,dx =integral1^ex,dx

Passo 4

Basta agora calcular a integral simples:
integral1^ex,dx=l[x^22r]1^e=e^2-12

Resposta

e^2-12

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