(Técnicas de construção de gráficos
pontos) Dada a função
indique o ponto de inflexão e o comportamento da concavidade;
indique o ponto de inflexão e o comportamento da concavidade;
Passo 1
Temos a função
. O objetivo é achar o ponto de inflexão e estudar onde a curva é côncava para cima ou para baixo. Para isso, vamos usar derivadas e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Para começar, calculamos a derivada primeira
aplicando a regra de potência em cada termo:
Passo 3
Em seguida, obtemos a segunda derivada
derivando
:
Passo 4
A condição para ponto de inflexão é
. Resolvendo:
Logo,
é o candidato a ponto de inflexão.
Passo 5
Para determinar a concavidade, analisamos o sinal de
:
- Se
, então , ou seja, a curva é côncava para baixo. - Se
, então , ou seja, a curva é côncava para cima.
Passo 6
Finalmente, calculamos
para obter o ponto de inflexão exato:
Passo 7
Assim, o ponto de inflexão é
, com concavidade para baixo em
e para cima em
.
Resposta
Ponto de inflexão em
; f é côncava para baixo em
e côncava para cima em
.