(Técnicas de construção de gráficos -2,5 pontos) Dada a função f(x)=13 x^3+12 x^2-x
indique o ponto de inflexão e o comportamento da concavidade;

Passo 1

Temos a função f(x)=13x^3+12x^2 - x. O objetivo é achar o ponto de inflexão e estudar onde a curva é côncava para cima ou para baixo. Para isso, vamos usar derivadas e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Para começar, calculamos a derivada primeira f'(x) aplicando a regra de potência em cada termo:
f'(x)=ddxl(tfrac13x^3r)+ddxl(tfrac12x^2r)-ddx(x)=x^2+x-1

Passo 3

Em seguida, obtemos a segunda derivada f''(x) derivando f'(x):
f''(x)=ddx(x^2)+ddx(x)-ddx(1)=2x+1

Passo 4

A condição para ponto de inflexão é f''(x)=0. Resolvendo:
2x+1=0implies x=-tfrac12
Logo, x=-tfrac12 é o candidato a ponto de inflexão.

Passo 5

Para determinar a concavidade, analisamos o sinal de f''(x)=2x+1:
  • Se x< -tfrac12, então 2x+1<0, ou seja, a curva é côncava para baixo.
  • Se x> -tfrac12, então 2x+1>0, ou seja, a curva é côncava para cima.

Passo 6

Finalmente, calculamos f(-tfrac12) para obter o ponto de inflexão exato:
fl(-tfrac12r)=13l(-tfrac12r)^3+12l(-tfrac12r)^2-l(-tfrac12r)=-tfrac124+tfrac18+tfrac12=tfrac712

Passo 7

Assim, o ponto de inflexão é (-tfrac12,tfrac712), com concavidade para baixo em (-tfrac12,infty) e para cima em .

Resposta

Ponto de inflexão em (-tfrac12,tfrac712); f é côncava para baixo em (-tfrac12,infty) e côncava para cima em .

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