Calcule o volume do solido limitado pelos cilindros
,
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o volume do sólido em primeira região octante (x≥0, y≥0, z≥0) limitado pelo cilindro x²+y²=4 e pelo plano z+y=2. Vamos usar cálculo de volume por integral tripla e coordenadas cilíndricas, que facilitam lidar com x²+y²≤4.
Passo 2
A região em coordenadas cilíndricas é dada por 0≤r≤2, 0≤θ≤π/2 (primeiro quadrante no plano xy) e para cada (r,θ), 0≤z≤2−y=2−r
sinθ.
Passo 3
Montamos a integral tripla do volume como
$$
V=\int_{θ=0}{π/2}\int_{r=0}{2}\int_{z=0}^{2−r
V=\int_{θ=0}{π/2}\int_{r=0}{2}\int_{z=0}^{2−r
\sinθ}r,dz,dr,dθ
$$onde o fator r vem do elemento de volume em cilíndricas.
Passo 4
Primeiro integramos em z, tratamos r e θ como constantes, obtendo
$$
\int_{0}^{2−r
\int_{0}^{2−r
\sinθ}r,dz = r\bigl(2−r
\sinθ\bigr).
$$
Passo 5
Em seguida integramos em r:
dr =4 e ∫₀²r²
dr =8/3.
Passo 6
Por fim, integramos em θ:
Passo 7
Logo, o volume do sólido é dado por (6π−8)/3.