Calcule o volume do solido limitado pelos cilindros x^2+y^2=4, z+y=2, x=0, y=0 e z=0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume do sólido em primeira região octante (x≥0, y≥0, z≥0) limitado pelo cilindro x²+y²=4 e pelo plano z+y=2. Vamos usar cálculo de volume por integral tripla e coordenadas cilíndricas, que facilitam lidar com x²+y²≤4.

Passo 2

A região em coordenadas cilíndricas é dada por 0≤r≤2, 0≤θ≤π/2 (primeiro quadrante no plano xy) e para cada (r,θ), 0≤z≤2−y=2−r
sinθ.

Passo 3

Montamos a integral tripla do volume como
$$
V=\int_{θ=0}{π/2}\int_{r=0}{2}\int_{z=0}^{2−r
\sinθ}r,dz,dr,dθ
$$onde o fator r vem do elemento de volume em cilíndricas.

Passo 4

Primeiro integramos em z, tratamos r e θ como constantes, obtendo
$$
\int_{0}^{2−r
\sinθ}r,dz = r\bigl(2−r
\sinθ\bigr).
$$

Passo 5

Em seguida integramos em r:
integral0^2l[2r−r²sinθr]dr = integral0^22r,dr − sinθintegral0^2r²,dr = 4 − tfrac83sinθ ²²pois ∫₀²2r
dr =4 e ∫₀²r²
dr =8/3.

Passo 6

Por fim, integramos em θ:
V=integral0^π/2l(4−tfrac83sinθr)dθ =4cdotπ2 − 83integral0^π/2sinθ,dθ =2π − 83

Passo 7

Logo, o volume do sólido é dado por (6π−8)/3.

Resposta

V=6pi-83

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