Calcule integral duplaR e^x+y d A efetuando uma mudança de variáveis apropriada, onde R é a região dada pela equação |x|+|y| <= 1.

Passo 1

O enunciado pede calcular integral duplaR e^x+y,dA na região diamantada definida por |x|+|y|<=1. O conteúdo é mudança de variáveis em integrais duplas.

Passo 2

Escolhemos a transformação u=x+y, v=x-y. A inversa é x=(u+v)/2, y=(u-v)/2. O Jacobiano é
detpartial(x,y)partial(u,v)=-tfrac12
logo |J|=tfrac12.

Passo 3

A condição |x|+|y|<=1 implica |u|=|x+y|<=|x|+|y|<=1 e |v|=|x-y|<=|x|+|y|<=1. Assim, o novo domínio é o quadrado [-1,1]times[-1,1]) em (u,v).

Passo 4

Reescrevendo a integral no domínio transformado, temos
integral duplaR e^x+y,dA =integral dupla[-1,1]^2e^ucdottfrac12,dv,du =tfrac12integral-1^1e^u,duintegral-1^1dv

Passo 5

Como integral-1^1dv=2, a integral fica
integral-1^1e^u,du=e^1-e^-1

Resposta

e - e^{-1}

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