Calcule a curvatura k(t) das seguintes curvas:
alpha(t)=(t, a t+b), a, b in R;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a curvatura $ k(t) $ da curva dada por $ \alpha(t) = (t, a t + b) $, onde $ a $ e $ b $ são números reais. A curvatura nos diz o quão “curvada” uma curva está em cada ponto. Para isso, vamos usar a fórmula da curvatura para curvas no plano:
k(t)
Aqui, $ x(t) $ e $ y(t) $ são as componentes da curva $ \alpha(t) $.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar $ x(t) $ e $ y(t) $:
x(t)
Agora, vamos calcular as derivadas necessárias:
  • Primeira Derivada de $ x(t) $:
    y(t)
  • Segunda Derivada de $ x(t) $:
    x(t) = t y(t) = a t + b
  • Primeira Derivada de $ y(t) $:
    x(t)
  • Segunda Derivada de $ y(t) $:
    x'(t) = ddt [t] = 1

Passo 3

Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula da curvatura:
k(t) = |x' y'' - y' x''|(x'^2 + y'^2)^3/2 = |1 cdot 0 - a cdot 0|(1^2 + a^2)^3/2 = |0 - 0|(1 + a^2)^3/2 = 0(1 + a^2)^3/2 = 0

Resposta

A curvatura $ k(t) $ da curva $ \alpha(t) = (t, a t + b) $ é 0.

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