Calcule a curvatura
das seguintes curvas:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a curvatura $ k(t) $ da curva dada por $ \alpha(t) = (t, a t + b) $, onde $ a $ e $ b $ são números reais. A curvatura nos diz o quão “curvada” uma curva está em cada ponto. Para isso, vamos usar a fórmula da curvatura para curvas no plano:
Aqui, $ x(t) $ e $ y(t) $ são as componentes da curva $ \alpha(t) $.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar $ x(t) $ e $ y(t) $:
Agora, vamos calcular as derivadas necessárias:
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Primeira Derivada de $ x(t) $:
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Segunda Derivada de $ x(t) $:
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Primeira Derivada de $ y(t) $:
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Segunda Derivada de $ y(t) $:
Passo 3
Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula da curvatura:
Resposta
A curvatura $ k(t) $ da curva $ \alpha(t) = (t, a t + b) $ é 0.