Fatore o polinômio em fatores lineares.
x^3-5 x^2+2 x+8

Passo 1

O polinômio dado é
x^3-5x^2+2x+8
Queremos fatorar em fatores lineares usando o Teorema da Raiz Racional e divisão polinomial. Vamos precisar testar possíveis raízes racionais e, em seguida, usar divisão sintética para reduzir o grau.

Passo 2

Pelo Teorema da Raiz Racional, as possíveis raízes são os divisores de 8, isto é, ±1, ±2, ±4, ±8. Calculando o polinômio em alguns desses valores, vemos que
f(2)=2^3-5cdot2^2+2cdot2+8=8-20+4+8=0
Logo, x=2 é raiz.

Passo 3

Para encontrar o quociente, aplicamos divisão sintética de x^3-5x^2+2x+8 por x-2:
Coeficientes: 1 ;-5 ;2 ;8
Trazer 1; multiplicar por 2 → 2; somar a -5 → -3; multiplicar por 2 → -6; somar a 2 → -4; multiplicar por 2 → -8; somar a 8 → 0. O quociente é
x^2-3x-4

Passo 4

Agora fatoramos o quadrático x^2-3x-4. Precisamos de dois números que somem -3 e cujo produto seja -4. Esses números são -4 e +1. Assim,
x^2-3x-4=(x-4)(x+1)

Passo 5

Reunindo todos os fatores lineares, temos a fatoração completa do polinômio original:

Passo 6

Resposta

(x-2)(x-4)(x+1)

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