Use uma integral dupla para determinar a área da região
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente usar uma integral dupla para determinar a área da região $ D $. Isso significa que vamos calcular a área de uma região no plano usando conceitos de cálculo integral. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar a integral dupla com os limites certos que definem a região $ D $.
Passo 2
Primeiro, para calcular a área de uma região usando uma integral dupla, a gente integra a função constante $ 1 $ sobre a região $ D $. Isso porque, essencialmente, estamos “somando” infinitos pedacinhos de área para cobrir toda a região.
Então, a fórmula fica assim:
Aqui, $ dA $ representa um elemento infinitesimal de área na região $ D $.
Passo 3
Agora, precisamos definir os limites de integração que descrevem a região $ D $. Esses limites dependem de como a região está delimitada. Por exemplo, se $ D $ está entre duas curvas $ y = f(x) $ e $ y = g(x) $, e $ x $ varia de $ a $ a $ b $, então os limites seriam:
Isso significa que para cada $ x $ entre $ a $ e $ b $, $ y $ varia de $ g(x) $ a $ f(x) $.
Passo 4
Vamos supor que a região $ D $ esteja delimitada pelas curvas $ y = \sqrt{x} $ e $ y = x^2 $, e que $ x $ varia de $ 0 $ a $ 1 $. Então, nossos limites de integração seriam de $ y = x^2 $ até $ y = \sqrt{x} $, e $ x $ de $ 0 $ a $ 1 $.
A integral dupla fica:
Primeiro, integramos em relação a $ y $:
Passo 5
Agora, temos uma integral simples em relação a $ x $:
Vamos resolver cada parte:
Subtraindo as duas partes:
Resposta
A área da região $ D $ é $ \frac{1}{3} $ unidades de área.