Calcule integral duplaR y d A onde R é o conjunto dado abaixo:
R=(x, y) in R^2:-1 <= x <= 1,0 <= y <= x+2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaRy,dA
onde
R = (x,y)in R^2 mid -1<= x<=1,;0<= y<= x+2
Isso é um caso de integral dupla em que podemos usar Fubini e integrar primeiro em y (de 0 a x+2) e depois em x (de -1 a 1).

Passo 2

Calculamos a integral interna em y:
integraly=0^y=x+2 y,dy = y^22|0^x+2 = (x+2)^22

Passo 3

Substituindo no integral em x, temos
integral duplaRy,dA = integralx=-1^1(x+2)^22,dx = 12integral-1^1(x+2)^2,dx

Passo 4

Agora calculamos
integral-1^1(x+2)^2,dx = (x+2)^33|-1^1 = 3^3 - 1^33 = 27 - 13 = 263
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integral duplaRy,dA = 12cdot263 = 133

Resposta

133

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