O ponto de máximo absoluto de f(x)=x-sen x em [0,2 pi] é
(A) pi2
(B) 0
(C) 3 pi2
(D) 2 pi
(E) NRA

Passo 1

O enunciado nos dá a função ,f(x)=x-sin x definida em [0,2pi] e pede o ponto em que f atinge seu máximo absoluto. Vamos usar o cálculo da derivada para identificar monotonicidade e potenciais extremos.

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x)=ddx(x-sin x)=1-cos x

Passo 3

Para achar pontos críticos, resolvemos f'(x)=0:
1-cos x=0 Longrightarrow cos x=1
As soluções de cos x=1 em [0,2pi] são
x=0 e x=2pi

Passo 4

Analisamos o sinal de f'(x)=1-cos x para xin(0,2pi). Como cos x<1 nesse intervalo, temos f'(x)>0. Logo, f é estritamente crescente em (0,2pi).

Passo 5

Como f cresce em todo o intervalo aberto e só tem pontos críticos nas extremidades, o valor máximo absoluto ocorre em x=2pi. De fato,
f(2pi)=2pi-sin(2pi)=2pi

Resposta

(D) 2pi

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