Calcule a integral integral duplaR y^2 x d A, no retângulo R=(x, y):-3 <= x <= 2,0 <= y <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver uma integral dupla onde precisamos calcular . A região é um retângulo definido por e . Vamos usar o cálculo de integrais duplas, que faz parte do cálculo multivariável. Para isso, precisamos entender como integrar funções de duas variáveis sobre uma área específica.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que uma integral dupla sobre a região pode ser escrita como duas integrais iteradas. Isso significa que vamos integrar em relação a uma variável enquanto mantemos a outra fixa, e depois integrar o resultado em relação à segunda variável. Vamos escolher integrar primeiramente em relação a e depois em relação a .

Passo 3

Vamos estabelecer os limites de integração. Para integral-3^2 ( integral0^1 y^2 x , dy ) dx , os limites são de a , e para , de a . Assim, a nossa integral dupla fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integral0^1 y^2 x , dy :
x integral0^1 y^2 , dy
Aqui, é uma constante porque estamos integrando em relação a . Podemos tirar para fora da integral:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de integral0^1 y^2 , dy = [ y^33 ]0^1 = 1^33 - 0^33 = 13 em relação a :
Portanto, a integral interna resulta em .

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral-3^2 x3 , dx = 13 integral-3^2 x , dx

Passo 7

Vamos calcular a integral de integral-3^2 x , dx = [ x^22 ]-3^2 = 2^22 - (-3)^22 = 42 - 92 = 4 - 92 = -52 em relação a :

Passo 8

Agora, multiplicamos o resultado pela constante 13 times ( -52 ) = -56 :

Resposta

O valor da integral é .

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