Calcule a integral
, no retângulo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver uma integral dupla onde precisamos calcular
. A região
é um retângulo definido por
e
. Vamos usar o cálculo de integrais duplas, que faz parte do cálculo multivariável. Para isso, precisamos entender como integrar funções de duas variáveis sobre uma área específica.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que uma integral dupla sobre a região
pode ser escrita como duas integrais iteradas. Isso significa que vamos integrar em relação a uma variável enquanto mantemos a outra fixa, e depois integrar o resultado em relação à segunda variável. Vamos escolher integrar primeiramente em relação a
e depois em relação a
.
Passo 3
Vamos estabelecer os limites de integração. Para
, os limites são de
a
, e para
, de
a
. Assim, a nossa integral dupla fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Aqui,
é uma constante porque estamos integrando em relação a
. Podemos tirar
para fora da integral:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral de
em relação a
:
Portanto, a integral interna resulta em
.
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Passo 7
Vamos calcular a integral de
em relação a
:
Passo 8
Agora, multiplicamos o resultado pela constante
:
Resposta
O valor da integral
é
.