Calcule
onde
é o paraboloide
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral de superfície:
onde
é o paraboloide dado por
e
varia de 0 até 4. A matéria que vamos usar aqui é cálculo integral, especificamente integrais de superfície. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a superfície e mudar para coordenadas polares, já que o paraboloide é simétrico em relação ao eixo
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular uma integral de superfície. Basicamente, estamos somando um valor
sobre toda a área da superfície
. Para facilitar os cálculos, como o paraboloide é simétrico, vamos mudar para coordenadas polares.
Passo 3
Nas coordenadas polares, substituímos
por
e
por
. Além disso,
. Isso simplifica a expressão da função que estamos integrando. Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, precisamos expressar o elemento de área
na superfície do paraboloide. Para uma superfície
, o elemento de área em coordenadas polares é dado por:
Calculando
:
Então,
Passo 5
Substituindo
na integral, temos:
Simplificando a expressão:
Passo 6
Agora, definimos os limites de integração. Como
vai de 0 a 4 e
, então
varia de 0 até
. O ângulo
varia de 0 a
.
Então, a integral fica:
Primeiro, resolvemos a integral em
:
Vamos fazer uma substituição
, então
, ou seja,
.
Mudando os limites:
- Quando
, - Quando
,
Então, a integral em
fica:
Passo 7
Agora, integramos em
:
Resposta
A integral de superfície vale
.