Calcule integral duplaS 11+4(x^2+y^2) d S onde S é o paraboloide z=x^2+y^2 com 0 <= z <= 4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral de superfície:
integral duplaS 11+4(x^2+y^2) , dS
onde é o paraboloide dado por e varia de 0 até 4. A matéria que vamos usar aqui é cálculo integral, especificamente integrais de superfície. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a superfície e mudar para coordenadas polares, já que o paraboloide é simétrico em relação ao eixo .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular uma integral de superfície. Basicamente, estamos somando um valor sobre toda a área da superfície . Para facilitar os cálculos, como o paraboloide é simétrico, vamos mudar para coordenadas polares.

Passo 3

Nas coordenadas polares, substituímos integral duplaS 11+4r^2 , dS por e por . Além disso, . Isso simplifica a expressão da função que estamos integrando. Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, precisamos expressar o elemento de área dS = raiz1 + (dzdr)^2 , r , dr , dtheta na superfície do paraboloide. Para uma superfície dzdr = 2r , o elemento de área em coordenadas polares é dado por:
dS = raiz1 + (2r)^2 , r , dr , dtheta = raiz1 + 4r^2 , r , dr , dtheta
Calculando :
Então,

Passo 5

Substituindo integral duplaS 11+4r^2 cdot raiz1 + 4r^2 , r , dr , dtheta na integral, temos:
integral duplaS raiz1 + 4r^21 + 4r^2 cdot r , dr , dtheta = integral duplaS rraiz1 + 4r^2 , dr , dtheta
Simplificando a expressão:

Passo 6

Agora, definimos os limites de integração. Como integral0^2pi integral0^2 rraiz1 + 4r^2 , dr , dtheta vai de 0 a 4 e integral1^17 1raizu cdot du8 = 18 integral1^17 u^-1/2 , du = 18 [ 2u^1/2 ]1^17 = 14 ( raiz17 - 1 ) , então varia de 0 até . O ângulo varia de 0 a .
Então, a integral fica:
Primeiro, resolvemos a integral em :
Vamos fazer uma substituição , então , ou seja, .
Mudando os limites:
  • Quando ,
  • Quando ,
Então, a integral em fica:

Passo 7

Agora, integramos em integral0^2pi 14 ( raiz17 - 1 ) , dtheta = 14 ( raiz17 - 1 ) cdot 2pi = pi2 ( raiz17 - 1 ) :

Resposta

A integral de superfície vale .

Exercícios relacionados