(b) Agora, suponha que a integral de linha de
ao redor de qualquer curva fechada seja zero. O que isso nos diz sobre os valores das constantes
e
?
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial
que depende das constantes
,
,
e
. A questão nos diz que a integral de linha de
ao redor de qualquer curva fechada é zero. Isso está relacionado com o conceito de campos conservativos na matéria de cálculo vetorial. Para resolver, precisaremos entender o que significa um campo vetorial ser conservativo e como isso afeta as constantes
,
,
e
.
Passo 2
Um campo vetorial é chamado de conservativo se a integral de linha ao longo de qualquer curva fechada for zero. Isso significa que o campo não tem “circulação”, ou seja, não cria ou consome energia ao redor de loops fechados. Uma propriedade importante dos campos conservativos é que o seu rotacional é igual a zero em todos os pontos do domínio.
Passo 3
Vamos usar a condição de que o rotacional de
deve ser zero. O rotacional de um campo vetorial
no plano é dado por:
Portanto, para que a integral de linha seja zero em qualquer curva fechada, devemos ter:
Passo 4
Vamos supor que o campo vetorial
seja definido como:
Agora, calculamos as derivadas parciais necessárias:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na condição do rotacional:
Isso nos dá a relação:
Passo 6
Como essa condição deve ser válida para que a integral de linha seja zero em qualquer curva fechada, ela nos diz que as constantes
e
devem ser iguais. Não há restrições adicionais sobre
e
a partir dessa condição específica.
Resposta
As constantes
e
devem ser iguais, ou seja,
. Não há restrições sobre
e
.