(b) Agora, suponha que a integral de linha de F ao redor de qualquer curva fechada seja zero. O que isso nos diz sobre os valores das constantes a, b, c e d ?

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial F que depende das constantes a, b, c e d. A questão nos diz que a integral de linha de F ao redor de qualquer curva fechada é zero. Isso está relacionado com o conceito de campos conservativos na matéria de cálculo vetorial. Para resolver, precisaremos entender o que significa um campo vetorial ser conservativo e como isso afeta as constantes a, b, c e d.

Passo 2

Um campo vetorial é chamado de conservativo se a integral de linha ao longo de qualquer curva fechada for zero. Isso significa que o campo não tem “circulação”, ou seja, não cria ou consome energia ao redor de loops fechados. Uma propriedade importante dos campos conservativos é que o seu rotacional é igual a zero em todos os pontos do domínio.

Passo 3

Vamos usar a condição de que o rotacional de F deve ser zero. O rotacional de um campo vetorial no plano é dado por:
Portanto, para que a integral de linha seja zero em qualquer curva fechada, devemos ter:

Passo 4

Vamos supor que o campo vetorial F seja definido como:
Agora, calculamos as derivadas parciais necessárias:

Passo 5

Substituindo essas derivadas na condição do rotacional:
Isso nos dá a relação:

Passo 6

Como essa condição deve ser válida para que a integral de linha seja zero em qualquer curva fechada, ela nos diz que as constantes c e b devem ser iguais. Não há restrições adicionais sobre a e d a partir dessa condição específica.

Resposta

As constantes c e b devem ser iguais, ou seja, . Não há restrições sobre a e d.

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