Seja
a superfície fechada que consiste no hemisfério
e sua base
. Seja
o campo elétrico definido por
. Encontre o fluxo elétrico através de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente precisa encontrar o fluxo elétrico através de uma superfície fechada
, que é composta por um hemisfério e sua base. O campo elétrico dado é
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência da eletrostática, que relaciona o fluxo do campo através de uma superfície fechada com o volume interno dessa superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Fluxo Elétrico. O fluxo elétrico através de uma superfície
é uma medida de quantas linhas de campo elétrico passam através dessa superfície. Matematicamente, é calculado pela integral de
pontual sobre a superfície
:
Passo 3
Mas calcular essa integral diretamente pode ser trabalhoso. Por isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que nos facilita a vida. Esse teorema diz que o fluxo do campo elétrico através da superfície fechada
é igual à integral tripla da divergência de
sobre o volume
limitado por
:
Passo 4
Vamos então calcular a divergência de
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
No nosso caso,
,
, e
. Calculando as derivadas parciais:
Passo 5
Agora que temos a divergência, podemos calcular a integral tripla sobre o volume
. Nosso volume é a metade da esfera de raio 1, já que
. Para facilitar, vamos usar coordenadas esféricas, onde o volume da meia-esfera é:
Passo 6
Aplicando o Teorema da Divergência:
Resposta
O fluxo elétrico através de
é
.