Seja S a superfície fechada que consiste no hemisfério x² + y² + z² = 1, z ≥ 0 e sua base x^2 + y^2 = 1, z = 0. Seja E o campo elétrico definido por E(x, y, z) = 2x i + 2y j + 2z k. Encontre o fluxo elétrico através de S.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente precisa encontrar o fluxo elétrico através de uma superfície fechada , que é composta por um hemisfério e sua base. O campo elétrico dado é . Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência da eletrostática, que relaciona o fluxo do campo através de uma superfície fechada com o volume interno dessa superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Fluxo Elétrico. O fluxo elétrico através de uma superfície é uma medida de quantas linhas de campo elétrico passam através dessa superfície. Matematicamente, é calculado pela integral de pontual sobre a superfície :

Passo 3

Mas calcular essa integral diretamente pode ser trabalhoso. Por isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que nos facilita a vida. Esse teorema diz que o fluxo do campo elétrico através da superfície fechada é igual à integral tripla da divergência de sobre o volume limitado por :

Passo 4

Vamos então calcular a divergência de . A divergência de um campo vetorial é dada por:
No nosso caso, , , e . Calculando as derivadas parciais:

Passo 5

Agora que temos a divergência, podemos calcular a integral tripla sobre o volume . Nosso volume é a metade da esfera de raio 1, já que . Para facilitar, vamos usar coordenadas esféricas, onde o volume da meia-esfera é:

Passo 6

Aplicando o Teorema da Divergência:

Resposta

O fluxo elétrico através de é .

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