Calcule a integral
onde
é a parte da superfície
que está acima do plano
orientada positivamente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de superfície. O enunciado nos dá uma integral dupla sobre uma superfície $ S $ específica e um campo vetorial $\mathbf{F} = \left( (y{2}+4){z{2}}, z{3} \ln (x^{2}+1),\ z \right) $. A superfície $ S $ é a parte da paraboloide $ x^{2} + y^{2} + z = 2 $ que está acima do plano $ z = 1 $, com orientação positiva. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Gauss (ou Teorema da Divergência), que relaciona a integral de superfície de um campo vetorial com a integral de volume da divergência desse campo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teorema de Gauss. Ele nos diz que:
Onde:
- $ \mathbf{F} $ é o campo vetorial.
- $ S $ é a superfície fechada que delimita o volume $ V $.
- $ \nabla \cdot \mathbf{F} $ é a divergência de $ \mathbf{F} $.
Então, para usar esse teorema, precisamos que $ S $ seja uma superfície fechada. Como nossa superfície original é apenas a parte da paraboloide acima de $ z = 1 $, vamos fechar essa superfície adicionando o disco $ D $ no plano $ z = 1 $.
Passo 3
Vamos calcular a divergência do campo vetorial $ \mathbf{F} $. A divergência é dada por:
Onde $ \mathbf{F} = (F_x, F_y, F_z) = \left( (y{2}+4){z{2}}, z{3} \ln (x^{2}+1),\ z \right) $.
Vamos calcular cada derivada:
-
$ \frac{\partial F_x}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( (y{2}+4){z^{2}} \right) = 0 $ (porque não há $ x $ em $ F_x $).
-
$ \frac{\partial F_y}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( z^{3} \ln (x^{2}+1) \right) = 0 $ (porque não há $ y $ em $ F_y $).
-
$ \frac{\partial F_z}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} (z) = 1 $.
Então, a divergência é:
Passo 4
Agora, segundo o Teorema de Gauss, a integral de superfície de $ \mathbf{F} $ sobre $ S $ mais o disco $ D $ é igual à integral de volume da divergência de $ \mathbf{F} $ sobre $ V $.
Como já calculamos $ \nabla \cdot \mathbf{F} = 1 $, a integral de volume será apenas o volume de $ V $:
Então, precisamos encontrar o volume limitado pela paraboloide $ x^{2} + y^{2} + z = 2 $ e pelo plano $ z = 1 $.
Passo 5
Para calcular o volume $ V $, vamos usar coordenadas cilíndricas, já que a região tem simetria circular.
Em coordenadas cilíndricas:
A equação da paraboloide fica:
E o plano é $ z = 1 $. Então, os limites para $ z $ vão de 1 até $ 2 - r^{2} $.
Para encontrar o limite de $ r $, igualamos $ z = 1 $ na equação da paraboloide:
Então, $ r $ varia de 0 a 1 e $ \theta $ de 0 a $ 2\pi $.
Passo 6
Agora, configuramos a integral de volume em coordenadas cilíndricas:
Vamos integrar em etapas:
- Integração em $ z $:
- Agora, a integral fica:
- Integração em $ r $:
- Finalmente, integração em $ \theta $:
Então, o volume $ V $ é $ \frac{\pi}{2} $.
Passo 7
Segundo o Teorema de Gauss:
Agora, queremos a integral apenas sobre $ S $, a superfície da paraboloide. Então, precisamos subtrair a contribuição do disco $ D $.
A orientação positiva da superfície $ S $ significa que o vetor normal está para cima. Para o disco $ D $, a orientação será para baixo, já que queremos uma superfície fechada.
Calculamos a integral sobre $ D $:
Onde $ \mathbf{k} $ é o vetor unitário na direção $ z $ e o negativo vem da orientação para baixo.
Como $ z = 1 $ no disco $ D $, substituímos $ z = 1 $ na $ \mathbf{F} $:
Então:
A integral sobre $ D $ fica:
A área de $ D $ é um círculo de raio 1, então:
Portanto:
Passo 8
Voltando ao Teorema de Gauss:
Substituindo o valor da integral sobre $ D $:
Isolando a integral sobre $ S $:
Resposta
A integral de superfície vale $ \frac{3\pi}{2} $.