Calcule a integral
onde
é a curva definida por:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo de integrais de linha aqui, que faz parte do estudo de Cálculo Vetorial. Precisamos calcular a integral ao longo de uma curva
. Para isso, vamos precisar parametrizar a curva, substituir na integral e resolver a integral resultante. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva
que nos é dada:
Isso significa que, para cada valor de
entre
e
, a curva nos dá um ponto no espaço tridimensional
.
Passo 3
Agora, vamos identificar as funções
,
e
a partir de
:
Essas funções vão nos ajudar a expressar a integral em termos de
.
Passo 4
A integral que precisamos calcular é:
Vamos substituir
,
e
nessa expressão, além de substituir
,
e
pelas derivadas em relação a
.
Passo 5
Primeiro, vamos calcular as derivadas de
,
e
em relação a
:
Mas vamos simplificar
:
Passo 6
Agora, substituímos tudo na integral:
Substituindo
,
,
,
,
e
:
Passo 7
Esse integral parece complicado, mas vamos ver se conseguimos simplificar. Notamos que a função
torna a última parte da integral bem complicada para integrar diretamente.
Por isso, podemos verificar se a integral é exata ou se podemos aplicar algum teorema como o teorema de Stokes. No entanto, dado que a curva
é fechada (pois t vai de 0 a
), vamos verificar se o campo vetorial é conservativo.
Passo 8
Para verificar se o campo vetorial
é conservativo, precisamos verificar se existe uma função potencial
tal que
.
Se o campo for conservativo, a integral ao longo de uma curva fechada será zero.
Passo 9
Vamos calcular as derivadas parciais para verificar se
é conservativo:
Como
, o campo vetorial
não é conservativo. Portanto, não podemos concluir que a integral seja zero.
Passo 10
Dado que o campo não é conservativo e a integral direta é muito complicada, vamos simplificar o problema observando a componente
. Se a componente
for tal que sua contribuição na integração ao longo da curva fechada possa cancelar, podemos simplificar.
Entretanto, nesse caso específico, não há uma simplificação óbvia, então a melhor abordagem é calcular a integral diretamente.
Passo 11
Como a integral direta é bastante complicada e envolve termos que não são facilmente integráveis (especialmente a parte com
), concluímos que a integral requer métodos avançados ou ferramentas computacionais para ser resolvida exatamente.
Resposta
Devido à complexidade do integrando, especialmente pela presença do termo
, a integral não pode ser resolvida de forma analítica simples e requer métodos avançados ou ferramentas computacionais para obter seu valor exato.