Um projetil é lançado no ar. A função que descreve sua altura em relação ao solo em função do tempo é dada por:
h(t)=h0+v0 t+g t^22
sendo h0 a altura inicial, v0 a velocidade inicial e g a força da gravidade (constante).
Em que instante de tempo a altura máxima é atingida?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de movimento de projétil, que faz parte da física. A pergunta é: em que momento o projetil atinge a altura máxima? Para resolver isso, vamos precisar entender como a função que descreve a altura do projétil funciona e usar um pouco de cálculo para encontrar o momento certo.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na função que nos foi dada:
h(t) = h0 + v0 t + g t^22
Aqui, $ h(t) $ é a altura do projétil no tempo $ t $, $ h_{0} $ é a altura inicial, $ v_{0} $ é a velocidade inicial, e $ g $ é a aceleração da gravidade.

Passo 3

Para encontrar a altura máxima, precisamos descobrir quando a velocidade do projétil passa de positiva para negativa, ou seja, quando ele para de subir e começa a descer. Matematicamente, isso acontece quando a derivada da função de altura em relação ao tempo é zero.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de $ h(t) $ em relação a $ t $:
h(t)
Essa derivada $ h’(t) $ representa a velocidade do projétil no tempo $ t $.

Passo 5

Para encontrar o instante em que a altura é máxima, igualamos a derivada a zero:
v0 + g t = 0
Agora, resolvemos para $ t $:
t

Passo 6

Esse valor de $ t $ nos dá o momento em que a velocidade do projétil é zero, ou seja, o ponto mais alto da trajetória.

Resposta

A altura máxima é atingida no instante de tempo $ t = -\frac{v_{0}}{g} $.

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