Um projetil é lançado no ar. A função que descreve sua altura em relação ao solo em função do tempo é dada por:
sendo
a altura inicial,
a velocidade inicial e
a força da gravidade (constante).
Em que instante de tempo a altura máxima é atingida?
Em que instante de tempo a altura máxima é atingida?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de movimento de projétil, que faz parte da física. A pergunta é: em que momento o projetil atinge a altura máxima? Para resolver isso, vamos precisar entender como a função que descreve a altura do projétil funciona e usar um pouco de cálculo para encontrar o momento certo.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na função que nos foi dada:
Aqui, $ h(t) $ é a altura do projétil no tempo $ t $, $ h_{0} $ é a altura inicial, $ v_{0} $ é a velocidade inicial, e $ g $ é a aceleração da gravidade.
Passo 3
Para encontrar a altura máxima, precisamos descobrir quando a velocidade do projétil passa de positiva para negativa, ou seja, quando ele para de subir e começa a descer. Matematicamente, isso acontece quando a derivada da função de altura em relação ao tempo é zero.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de $ h(t) $ em relação a $ t $:
Essa derivada $ h’(t) $ representa a velocidade do projétil no tempo $ t $.
Passo 5
Para encontrar o instante em que a altura é máxima, igualamos a derivada a zero:
Agora, resolvemos para $ t $:
Passo 6
Esse valor de $ t $ nos dá o momento em que a velocidade do projétil é zero, ou seja, o ponto mais alto da trajetória.
Resposta
A altura máxima é atingida no instante de tempo $ t = -\frac{v_{0}}{g} $.