Calcule o valor da integral
integral duplaS y d S
onde S é superficie
z=23(x^32+y^32)
com 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 1

Passo 1

Resumindo, a questão quer calcular a integral de superfície integral duplaS y,dS onde S é o gráfico z=tfrac23(x^3/2+y^3/2) no quadrado 0<= x,y<=1. O conteúdo é integral de superfície de função escalar sobre gráfico, e vamos precisar da fórmula integral duplaS f,dS=integral duplaD f(x,y,z(x,y))raiz1+zx^2+zy^2,dx,dy.

Passo 2

Parametrizamos S por
r(x,y)=(x,;y,;tfrac23(x^3/2+y^3/2)), 0<= x,y<=1

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
zx=partialpartial xl(tfrac23x^3/2r)=x^1/2, zy=y^1/2,

Passo 4

e portanto
raiz1+zx^2+zy^2=raiz1+x+y

Passo 5

A integral vira
integral duplaS y,dS=integral0^1integral0^1 yraiz1+x+y,dx,dy

Passo 6

Para integrar em x, fazemos u=1+x+y (para y fixo), obtendo
integral0^1 yraiz1+x+y,dx=yintegral1+y^2+yu^1/2,du=ycdottfrac23l[(2+y)^3/2-(1+y)^3/2r]

Passo 7

Assim a integral total é
23integral0^1yl[(y+2)^3/2-(y+1)^3/2r]dy

Passo 8

Separamos em I1=integral0^1y(y+2)^3/2dy e I2=integral0^1y(y+1)^3/2dy. Usando para cada a troca t=y+a, achamos:

Passo 9

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integral duplaS y,dS=23(I1-I2)=2105l(18raiz3+8raiz2-4r)

Resposta

4105(9raiz3+4raiz2-2)

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