Calcule
em que
é a parte do paraboloide
que está acima do plano
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície ∬_S (2+z) dS onde S é a parte do paraboloide z = -2 - x² - y² que fica acima do plano z = -3. Vamos usar matriz de superfície e projetar S no plano xy, aplicando teoria de integrais de superfície de função escalar.
Passo 2
Primeiro identificamos a região de projeção D no plano xy. A condição “acima de z = -3” dá
o que equivale a
Logo, D é o disco de raio 1 centrado na origem.
Passo 3
Para cada ponto (x,y) em D, temos z = -2 - x² - y². Então a função a integrar é
Além disso, o elemento de área de superfície é
com z_x = -2x e z_y = -2y, dando
Passo 4
Agora passamos para coordenadas polares: x = r cosθ, y = r sinθ, com r∈[0,1], θ∈[0,2π]. Temos x²+y² = r² e dA = r dr dθ. A integral fica
Ou seja
Passo 5
Para calcular I = ∫₀¹ r³√(1+4r²) dr, fazemos substituição u = 1 + 4r² ⇒ du = 8r dr. Como r³ dr = r²·r dr = ((u - 1)/4)·(du/8), obtemos
Passo 6
Integrando em u:
Então
Avaliando de u=1 a u=5 resulta em
Passo 7
Substituindo de volta na integral de superfície:
Resposta
-\frac{\pi,(25\sqrt5 + 1)}{60}