Calcule
integral duplaS(2+z) d S
em que S é a parte do paraboloide z=-2-x^2-y^2 que está acima do plano z=-3.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície ∬_S (2+z) dS onde S é a parte do paraboloide z = -2 - x² - y² que fica acima do plano z = -3. Vamos usar matriz de superfície e projetar S no plano xy, aplicando teoria de integrais de superfície de função escalar.

Passo 2

Primeiro identificamos a região de projeção D no plano xy. A condição “acima de z = -3” dá
-2 - x^2 - y^2 >= -3
o que equivale a
x^2 + y^2 <= 1
Logo, D é o disco de raio 1 centrado na origem.

Passo 3

Para cada ponto (x,y) em D, temos z = -2 - x² - y². Então a função a integrar é
f(x,y) = 2 + z = 2 - 2 - x^2 - y^2 = - (x^2 + y^2)
Além disso, o elemento de área de superfície é
dS = raiz1 + zx^2 + zy^2,dA
com z_x = -2x e z_y = -2y, dando
raiz1 + 4x^2 + 4y^2 = raiz1 + 4(x^2 + y^2)

Passo 4

Agora passamos para coordenadas polares: x = r cosθ, y = r sinθ, com r∈[0,1], θ∈[0,2π]. Temos x²+y² = r² e dA = r dr dθ. A integral fica
integral duplaS (2+z),dS = integral0^2πintegral0^1 l(-r^2r),raiz1+4r^2,r,dr,dθ
Ou seja
-,2pi integral0^1 r^3 raiz1 + 4r^2,dr

Passo 5

Para calcular I = ∫₀¹ r³√(1+4r²) dr, fazemos substituição u = 1 + 4r² ⇒ du = 8r dr. Como r³ dr = r²·r dr = ((u - 1)/4)·(du/8), obtemos
I = integralu=1^5 u - 132 raizu,du = 132 integral1^5 l(u^3/2 - u^1/2r) du

Passo 6

Integrando em u:
integral (u^3/2 - u^1/2) du = 25u^5/2 - 23u^3/2
Então
I = 132l[25u^5/2 - 23u^3/2r]1^5 = 116l[15u^5/2 - 13u^3/2r]1^5
Avaliando de u=1 a u=5 resulta em
I = 5raiz524 + 1120

Passo 7

Substituindo de volta na integral de superfície:
integral duplaS (2+z),dS = -2pi ;I = -2pi l(5raiz524 + 1120r) = -pi,(25raiz5 + 1)60

Resposta

-\frac{\pi,(25\sqrt5 + 1)}{60}

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