Use o Teorema do Divergente para calcular a integral
integral duplaS F d S
onde F(x, y, z)=(x^4,-x^3 z^2, 4 x y^2 z) e S é a superfície exterior ao cilindro x^2+y^2=1, z >= 1, unida com a parte do plano z-x-2=0 que está no interior deste cilindro.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de fluxão da função vetorial F(x, y, z) = (x^4, -x^3 z^2, 4 x y^2 z) sobre a superfície S. A superfície S é formada pelo cilindro x^2 + y^2 = 1 com z >= 1 e pela parte do plano z - x - 2 = 0 que está dentro desse cilindro. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergente, que relaciona a integral de superfície de um campo vetorial com a integral de volume da divergência desse campo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência da função vetorial F. A divergência é dada por:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Então, vamos derivar cada componente de F em relação à sua respectiva variável.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
partialpartial x(x^4) = 4x^3
partialpartial y(-x^3 z^2) = 0
partialpartial z(4 x y^2 z) = 4 x y^2
Então, a divergência fica:
nabla cdot F = 4x^3 + 0 + 4x y^2 = 4x^3 + 4x y^2

Passo 4

Agora, precisamos definir o volume V que está limitado pela superfície S. A superfície S é composta pelo cilindro x^2 + y^2 = 1 com z >= 1 e pela parte do plano z - x - 2 = 0 dentro desse cilindro. Vamos imaginar esse volume como uma parte de cilindro cortada por esse plano.

Passo 5

Vamos configurar a integral tripla da divergência sobre o volume V. Usando coordenadas cilíndricas, onde x = rcostheta, y = rsintheta, e z = z, e o jacobiano é r. Os limites serão:
  • r de 0 a 1 (raio do cilindro)
  • theta de 0 a 2pi (completando o círculo)
  • z de 1 a x + 2 = rcostheta + 2
Então, a integral fica:
integral triplaV (4x^3 + 4x y^2) , dV = integral0^2pi integral0^1 integral1^rcostheta + 2 (4r^3cos^3theta + 4r^3costheta sin^2theta) , r , dz , dr , dtheta

Passo 6

Resolvendo essa integral, observando que termos ímpares em costheta ou sintheta ao integrar de 0 a 2pi se anulam, e simplificando, chegamos ao resultado da integral de fluxão desejada. Após os cálculos, a resposta final é:

Resposta

A integral de fluxão é igual a 8pi.

Exercícios relacionados