Use o Teorema do Divergente para calcular a integral
onde
e
é a superfície exterior ao cilindro
,
, unida com a parte do plano
que está no interior deste cilindro.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de fluxão da função vetorial
sobre a superfície
. A superfície
é formada pelo cilindro
com
e pela parte do plano
que está dentro desse cilindro. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergente, que relaciona a integral de superfície de um campo vetorial com a integral de volume da divergência desse campo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência da função vetorial
. A divergência é dada por:
Então, vamos derivar cada componente de
em relação à sua respectiva variável.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Então, a divergência fica:
Passo 4
Agora, precisamos definir o volume
que está limitado pela superfície
. A superfície
é composta pelo cilindro
com
e pela parte do plano
dentro desse cilindro. Vamos imaginar esse volume como uma parte de cilindro cortada por esse plano.
Passo 5
Vamos configurar a integral tripla da divergência sobre o volume
. Usando coordenadas cilíndricas, onde
,
, e
, e o jacobiano é
. Os limites serão:
-
de 0 a 1 (raio do cilindro) -
de 0 a (completando o círculo) -
de 1 a
Então, a integral fica:
Passo 6
Resolvendo essa integral, observando que termos ímpares em
ou
ao integrar de 0 a
se anulam, e simplificando, chegamos ao resultado da integral de fluxão desejada. Após os cálculos, a resposta final é:
Resposta
A integral de fluxão é igual a
.