Determine a taxa máxima de variação de
no ponto
. Em que direção isso ocorre?
Passo 1
O enunciado pede para determinar a taxa máxima de variação de
no ponto
. O conteúdo principal aqui é derivadas parciais, gradiente e derivada direcional. Para resolver, vamos precisar calcular o vetor gradiente de
e depois sua norma e a direção unitária associada.
Passo 2
Para achar o vetor gradiente, lembramos que
$$\nabla f(x,y)=\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x},;\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr).
\frac{\partial f}{\partial x}=2xy,
$$
Passo 3
Agora avaliamos o gradiente no ponto
. Substituindo
e
nas fórmulas acima, temos
Passo 4
A taxa máxima de variação em
é justamente a norma do gradiente naquele ponto, pois a derivada direcional atinge valor máximo na direção do gradiente. Calculamos:
Passo 5
A direção em que ocorre essa taxa máxima é a direção do próprio gradiente, i.e., o vetor gradiente normalizado. Assim,
Resposta
A taxa máxima de variação é
e ocorre na direção
.