Determine a taxa máxima de variação de f(x, y)=x^2 y+raizy no ponto (2,1). Em que direção isso ocorre?

Passo 1

O enunciado pede para determinar a taxa máxima de variação de f(x,y)=x^2y+raizy no ponto (2,1). O conteúdo principal aqui é derivadas parciais, gradiente e derivada direcional. Para resolver, vamos precisar calcular o vetor gradiente de f e depois sua norma e a direção unitária associada.

Passo 2

Para achar o vetor gradiente, lembramos que
$$\nabla f(x,y)=\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x},;\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr).
nabla f(x,y)=l(partial fpartial x,;partial fpartial yr)
\frac{\partial f}{\partial x}=2xy,
$$
f(x,y)=x^2y+raizy

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente no ponto (2,1). Substituindo x=2 e y=1 nas fórmulas acima, temos
nabla f(2,1)=l(2cdot2cdot1,;2^2+tfrac12raiz1r)=(4,;4+tfrac12)=(4,4.5)

Passo 4

A taxa máxima de variação em (2,1) é justamente a norma do gradiente naquele ponto, pois a derivada direcional atinge valor máximo na direção do gradiente. Calculamos:
|nabla f(2,1)|=raiz4^2+4.5^2=raiz16+20.25=raiz36.25=raiz1452

Passo 5

A direção em que ocorre essa taxa máxima é a direção do próprio gradiente, i.e., o vetor gradiente normalizado. Assim,
u=nabla f(2,1)|nabla f(2,1)| =l(4raiz36.25,4.5raiz36.25r) =l(8raiz145,9raiz145r)

Resposta

A taxa máxima de variação é dfracraiz1452 e ocorre na direção l(tfrac8raiz145,tfrac9raiz145r).

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