Enuncie a Regra da Cadeia para o caso em que z=f(x, y) e x e y são funções de uma variável. E se x e y forem funções de duas variáveis?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer entender a Regra da Cadeia quando temos uma função $ z = f(x, y) $, onde $ x $ e $ y $ são funções de uma variável. Além disso, você quer saber como isso muda se $ x $ e $ y $ forem funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre derivadas parciais e como elas se aplicam em funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Regra da Cadeia. Ela é uma ferramenta que usamos para calcular a derivada de uma função composta. No nosso caso, $ z = f(x, y) $. Se $ x $ e $ y $ são funções de uma variável, digamos $ t $, então $ z $ também depende de $ t $ através de $ x(t) $ e $ y(t) $.

Passo 3

Quando $ x $ e $ y $ são funções de uma variável $ t $, a derivada de $ z $ em relação a $ t $ é dada por:
x
Aqui, $ \frac{\partial f}{\partial x} $ e $ \frac{\partial f}{\partial y} $ são as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $, respectivamente.

Passo 4

Agora, se $ x $ e $ y $ forem funções de duas variáveis, digamos $ u $ e $ v $, então $ z $ se torna uma função de duas variáveis também: $ z = f(x(u, v), y(u, v)) $. Nesse caso, queremos encontrar as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ u $ e $ v $.

Passo 5

Aplicando a Regra da Cadeia para funções de múltiplas variáveis, temos:
partial zpartial u = partial fpartial x cdot partial xpartial u + partial fpartial y cdot partial ypartial u
partial zpartial v = partial fpartial x cdot partial xpartial v + partial fpartial y cdot partial ypartial v
Essas expressões mostram como as mudanças em $ u $ e $ v $ afetam $ z $ através de $ x $ e $ y $.

Resposta

Resumindo, a Regra da Cadeia para $ z = f(x, y) $ onde $ x $ e $ y $ são funções de uma variável $ t $ é:
z = f(x, y)
E se $ x $ e $ y $ forem funções de duas variáveis $ u $ e $ v $, as derivadas parciais de $ z $ são:
x
y

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