Calcule integral duplaS(F cdot n) d s em cada item abaixo.
(d) F(x, y, z)=(x, y, z) e S é a superfície do sólido W, onde W=(x, y, z) in R^3 mid x^2+y^2 <= 1 e x^2+y^2+z^2 <= 4, com vetor normal n exterior.

Passo 1

O enunciado pede o valor de integral duplaS (Fcdot n),ds para F(x,y,z)=(x,y,z) e S=partial W, com W=(x,y,z)mid x^2+y^2<=1,;x^2+y^2+z^2<=4. O conteúdo é o Teorema da Divergência, que nos permitirá trocar a integral de superfície pela integral de volume de div F sobre W.

Passo 2

Calculamos primeiro a divergência de F. Como F=(x,y,z), temos
div F=partial xpartial x+partial ypartial y+partial zpartial z=1+1+1=3

Passo 3

Usando o Teorema da Divergência:
integral duplaS (Fcdot n),ds=integral triplaW (div F),dV=3integral triplaW dV=3cdotVol(W) Precisamos achar o volume de W. Em coordenadas cilíndricas (r,theta,z), a base é 0<= r<=1, 0<=theta<=2pi e para cada r temos
-raiz4-r^2<= z<=raiz4-r^2

Passo 4

O volume fica
Vol(W)=integral0^2piintegral0^1integral-raiz4-r^2^raiz4-r^2r,dz,dr,dtheta =integral0^2piintegral0^12rraiz4-r^2,dr,dtheta
Fatorando:
Vol(W)=2cdot2piintegral0^1rraiz4-r^2,dr=4piintegral0^1rraiz4-r^2,dr
Fazendo a substituição u=4-r^2, du=-2r,dr, obtemos
integral0^1rraiz4-r^2,dr=13l(8-3raiz3r)
e portanto
Vol(W)=4picdot13(8-3raiz3)=4pi3(8-3raiz3)

Passo 5

Finalmente:
integral duplaS(Fcdot n),ds=3,Vol(W)=3cdot4pi3(8-3raiz3)=32pi-12piraiz3

Resposta

32\pi - 12\pi\sqrt{3}

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