Resolva os problemas de valor iniciais propostos.
y^prime prime+2 y^prime+y=0, y(0)=4, y^prime(0)=-6

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de 2ª ordem com coeficientes constantes
y'' + 2y' + y = 0, y(0)=4, ; y'(0)=-6,
que é um problema de valor inicial de EDO homogênea.

Passo 2

Procuramos a solução geral resolvendo a equação característica associada. Montamos
r^2 + 2r + 1 = 0
Fatorando, temos (r+1)^2 = 0, ou seja, raiz dupla r=-1. Para raiz dupla a solução geral é
y(x) = (C1 + C2 x)e^-x

Passo 3

Agora calculamos a derivada de y(x) e aplicamos as condições iniciais. Derivando,
y'(x) = C2 e^-x - (C1 + C2 x)e^-x = e^-xl(C2 - C1 - C2 xr)
Em x=0 temos
y(0) = C1 = 4,
y'(0) = C2 - C1 = -6
Substituindo C1 = 4 em C2 - C1 = -6 C2 - 4 = -6, logo C2 = -2.

Passo 4

Com os valores de C1 e C2 achados, a solução do problema de valor inicial é
y(x) = (4 - 2x)e^-x

Resposta

y(x) = (4 - 2x)e^-x

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